原码、补码、反码、移码

机组--原码、补码、反码、移码

首先，对于正数而言，原码=反码=补码

在开始下面内容前，做以下约定：$X$表示真值，$[X]_原$表示原码，$[X]_反$表示反码，$[X]_补$表示补码。并且您可能需要一定的将十进制数转化为二进制数的基础。

有符号数与无符号数

• 无符号数：整个机器字长的全部二进制均为数值位

  如 ：

  $X=+27$

  无符号数为：$11011$

• 有符号数：在"无符号数"的最高位添加符号位：+：0，-：1

  如 ：

  $X=+27$

  有符号数为：$011011$

  $X=-27$

  有符号数为：$111011$

原码

机器数最高位表示符号，其余位表示该数的绝对值

如果规定了机器字长，而我们的原码位数又不够时，需要我们进行补零，之后再修改符号位。

具体的：

• 当为整数时：在有效数值最高位前面补零，不影响整体取值。之后将最高位修改为符号位

  假定机器字长为8位

  $X=+27$ ，$[X]_原$：$00011011$

  $X=-27$ ，$[X]_原$：$10011011$

• 当为小数时：在有效数值最低位后面补零，不影响整体取值。之后再将最高位修改为符号位

  假定机器字长为8位（定点小数表现形式可见下方"定点小数"）

  $X=+0.625$，$[X]_原$：$[0.1010000]$

  $X=-0.625$，$[X]_原$：$[1.1010000]$

值得注意的是，真值0有两种不同形式表达：$[+0]_原=[0000]、[-0]_原=[1000]$

机器数的定点表示

• 定点小数：纯小数，小数点 . 位置在符号位之后、有效数值部分最高位之前。符号位：+：0、-：1，位于最前。

  这里的纯小数指的是，整数部分为零。$0.0101$ √、$1.0101$ ×、

  如：$[+0.625]_原 = [0.101]$、$[-0.125]_原 = [1.001]$

• 定点整数：纯整数，小数点 . 位置在有效数值位最低位之后。且在最前面用逗号, 将整数部分与符号位隔开

  如：$[+27]_原$ = $0,11011$、 $[-27]_原$ = $1,11011$

反码

对于正数，其反码与原码形式一致。

$[+27]_原=00011011$ => $[+27]_反$ = $00011011$

$[+0.625]_原=[0.1010000]$ => $[+0.625]_反=[0.1010000]$

对于负数，将原码的符号位保持不变，其余部分按位取反。

假定机器字长8位

$[-27]_原$ = $10011011$ => $[-27]_反$ = $11100100$

$[-0.625]_原=[1.1010000]$ => $[+0.625]_反=[1.0101111]$

补码

原码转补码：

对于正数，其补码与原码形式一致。

对于负数，在反码的基础上+1。

$[-27]_原$ = $10011011$ => $[-27]_补$= $[-27]_反+1$ = $11100100$ +1 = $11100101$

$[-0.625]_原=[1.1010000]$ => $[-0.625]_补$ = $[-0.625]_反+1=1.0101111+1$ = $1.0110000$

另法一：

假设负纯整数X，将其转化为原码共有二进制位数$N+1$，则X补码为：$[2^{N+1}-|X|]$

如：X = -13 =$[-1101]$ => $[-1101]_原=[11101]$ ,其中二进制位数为 $5$ => $2^5=32$，

因此其 补码为：$[X]_补=32-|-13| = 19 = [10011]$

另法二：

对负定点小数的原码X，从右往左扫描，尾数的第一个1及其右部的0保持不变，左部的各位取反，符号位保持不变。

如$[X]_原=[1.1110011000]$ =>1.0001101000

补码转原码：

规则：对于负数，补码的除符号位取反后+1

$[-13]_补=[10011]$ =>取反=>$[11100]$ =>+1=>$[-13]_原=[11101]$

移码

一个真值的移码和补码仅差一个符号位，将补码符号位取反即可得到移码。

附录

一些码的可表示范围：

$n$ 位码	最小值	最大值
无符号小数	0	$1-2^{-n}$
无符号整数	0	$2^n-1$
定点小数	$-(1-2^{-n})$	$1-2^{-n}$
定点整数	$-(2^{n}-1)$	$2^{n}-1$
原码纯小数	$-(1-2^{-(n-1)})$	$1-2^{-(n-1)}$
原码纯整数	$-(2^{(n-1)}-1)$	$2^{(n-1)}-1$
反码纯小数	$-(1-2^{-(n-1)})$	$1-2^{-(n-1)}$
反码纯整数	$-(2^{(n-1)}-1)$	$1-2^{-(n-1)}$
补码纯小数	$-1$ (比原码多表示$-1$)	$1-2^{-(n-1)}$
补码纯整数	$-2^n$ (比原码多表示$-2^n$)	$2^{(n-1)}-1$