一些区间无重和问题
区间无重和问题：
问题描述：
对于一个有序数组 \(a[1…n]\) ，希望\(O(\lg n)\)地查询任意区间 \([l, r]\) 中元素之和，且重复元素只加一次。
解决方法：
对于每个点上的元素，我们额外维护一个前向指针 \(prev\)，指向它左方最近一个与之具有相同值的元素。
有了前向指针，对于任一区间\([l, r]\)，显然只需遍历一遍，将所有满足 \(prev < l\) 的元素累加，即可得到答案。
接下来思考如何优化这个过程，观察答案的式子：
我们发现，如果将结点按照 \(prev\) 关键字排序，那么答案就是一个前缀和，因此我们可以在排序后预处理出前缀和，然后二分查找得到答案。
还有区间查询的问题未解决，自然想到线段树：对树上每一个结点作预处理，将其对应区间内的元素进行排序并记录前缀和；对区间\([L, R]\)查询时，只需对线段树上所有子区间二分查找出 \(prev < L\) 的前缀和，然后合并答案即可。时间复杂度\(O(n \lg^2n)\)，空间复杂度\(O(n\lg n)\)。
缺点：不支持在线增删
重新考虑这个问题，我们要在线地查询
直接一个树状数组套线段树就可以解决了，写起来甚至比上一个方法简单）
有一些题目，层层剥开后，就发现就是一个无重和/积问题。
另外，将 \(a_i\) 设置为 \(1\)，答案就是区间中去重元素个数。
例题
例1：codeforces 1422 F
刚才说的第一种方法就是从这学的。。
问题描述：给一个正整数序列，每个元素不超过2*1e5，强制在线查询给定区间的LCM。
分析：在素因数分解后，若干个数的LCM即为各个素因子幂次取max，然而，素数太多了，不能这么干，真的不能吗？
注意到 \(n\) 至多只有一个大于 \(\sqrt n\) 的素因子，其余素因子都是不超过 \(\sqrt n\) 的，所以我们先对 450 以下的素因子建立线段树维护区间最大幂次，将这些小的素因子提出后，每一位剩下的只能是 1 或者 素数。问题就转化为对一个素数序列动态查询区间LCM了，而素数们的LCM，不就是去重积吗？
例2：codeforces 1436 E
分析：求一个有序数组的所有子段（一段连续的元素）的Mex的Mex，问题看着很吓人，不过我们首先注意到 \(1 \leq a_i \leq n\)，这说明所有子段的Mex一定位于\([1, n + 1]\)中，所以我们可以令 \(x\) 从 \(1\) 遍历到 \(n + 1\)，逐步检验是否存在一个子段的Mex为 \(x\)。
任何一个Mex为 \(x\) 的子段一定不包含 \(x\)，而在不含 \(x\) 的条件下，子段当然越大越有可能满足条件，考虑 \(x\) 会将序列分为若干不含 \(x\) 的极大子段，只需对这些极大子段逐一验证即可，在 \(x\) 遍历的过程中，总共会出现 \(O(n)\) 个极大子段，如何快速地处理每个子段呢？
对不含 \(x\) 的子段进行验证，其实就是判断它是否含有 \(1\) 到 \(x - 1\) 的所有值，我们希望它等价于 “区间元素个数为 \(x - 1\)（去重） ”，为此，只需要在每次遍历完 \(x\) 后，再把所有值为 \(x\) 的元素放入树套树。这样就能 \(O(\lg n)\) 地处理每个极大子段了。
