第三节 单因素方差分析
试验中要考察的指标称为试验指标，影响试验指标的条件称为因素（分类变量），因素所处的状态称为水平，若试验中只有一个因素改变则称为单因素试验，若有两个因素改变则称为双因素试验，若有多个因素改变则称为多因素试验。方差分析就是对试验数据进行分析，检验方差相等的多个正态总体均值是否相等，进而判断各因素对试验指标的影响是否显著，根据影响试验指标条件的个数可以区分为单因素方差分析、双因素方差分析和多因素方差分析。
如果有4组的均数需要比较，如果使用t检验进行两两比较，那需要进行6次。而每次t检验不犯第一类错误的概率为0.95，6次都不犯的概率即是0.95的6次方，所以如果使用t检验进行两两比较，6次t检验 至少有一次犯第一类错误的概率为0.2469，将被放大。如果仍然要使用两两的t检验，就需要控制总的犯第一类错误的概率
各组内部变异（组内变异）：反映个体差异（随机变异）的大小
各组均数差异（组间变异）：反映了个体差异（随机效用）的影响与可能存在的处理因素的影响之和
总变异=组内变异+组间变异
F检验统计量： F=(SSA/(k-1))/(SSE/(n-k))=MSA/MSE
前提条件：独立性，正态性，方差齐性（）
如果得出的结论是多组均数间存在差异，则需要进行事后的两两比较
两两比较中会遇到的一类错误
CER：比较误差，即每做一次比较犯一类错误的概率
EERC：在完全无效假设下的试验误差率，即在H0成立时做完全比较所犯的一类错误的概率，方差分析检验/卡方检验本身控制的就是EERC
MEER：最大试验误差率，即在任何完全或者部分无效假设下，做完全部比较所犯的一类错误的最大概率值，适用范围更广
控制一类错误
直接校正P值：
sidak校正，当无效假设实际成立，即各组均数无差别时，完全两两比较犯第一类错误的概率为1-0.95^(k(k-1)/2)，次即EERC，通过控制总的EERC=0.05反向推导没一个检验犯第一类错误的概率，统计软件直接往往将每个检验的屁p值放大（最大放大为1），而固定每个比较的α水准仍为0.05方便阅读
bonferroni校正：大多数实际问题中，都是有些组均数相同，有些不同，因此使用MEER更合适，通过控制CER，使得MEER被控制在所设定的水准内，计算公式为CER=α/c(需要进行比较的次数)
直接校正的缺陷：将两两比较分别进行，不仅使用麻烦，也增加了误差的影响，因为每次两两比较只会用到这一组的数据而利用不到所有的数据，联合检验可解决此类问题，而且对一类错误的控制太严格，结果往往是偏保守的
联合检验：LSD-t检验，LSD最小显著差异，t检验的一个变形，在标准误和自由度的计算上利用了全部样本信息，使得结果更为准确，t检验的标准误和自由度的计算只利用了相应的两组的信息。如果不对检验水准做任何校正，则可以认为LSD是最灵敏，或者最容易得出阳性结论的
常见的联合比较方法：
S-N-K：使用student化的范围分布快速进行检验，将总样本分为多个同质子集，但是组数很多时假阳性较高，一般超过5组就要小心
Tukey：原理类似SNK
Duncan：做了进一步的改进
Scheffe：进行多组的联合检验而不是两两检验，相对比较稳健
Dunnett：需要提供参照组，可进行单侧检验，SCI杂志中经常指定该方法
两两比较方法的选择：
如果两个均数间的比较是独立的，或者虽有多个样本均数，但事先已计划好要做某几对均数的比价，推荐一般t检验
如果存在明确的对照组，要进行的是验证性研究，即计划好的某两个或几个组间（都和对照组）的比价，用LSD发，如果让要要严格的控制，可以先进行bonferroni校正
如果进行的十多个均数间的两两比较（探索研究），此时得到的阳性结论尽可能是真实的，因此要严格控制一类错误
各组人数相等，用Tukey法，该方法此时的检验效能较高
各组人数不相等或者较为复杂时，使用scheffe法更为稳妥，但它相对保守
方差不齐时，最好直接使用非参数检验方法
import statsmodels.api as sm # 单因素方差分析的实现 from statsmodels.formula.api import ols ccss.time = ccss.time.astype("str") # 必须将时间从数字调整为category或者str类型 model = ols('index1~time', data=ccss.loc[ccss.s0=='北京',:]).fit() restable = sm.stats.anova_lm(model, typ=3) restable # 多组均数比较，结论拒绝了均值相等的假定，但是没有给出具体的差异信息
1 from statsmodels.sandbox.stats import multicomp as mc # 单因素方差分析事后两两检验的实现 2 res = mc.MultiComparison(ccss.index1, ccss.time).tukeyhsd() # meandiff均值，lower95%置信区间下界，reject是否存在差异 3 res.summary()
| group1 | group2 | meandiff | lower | upper | reject |
|---|---|---|---|---|---|
| 200704 | 200712 | -4.1972 | -8.5083 | 0.1139 | False |
| 200704 | 200812 | -7.897 | -12.2081 | -3.5859 | True |
| 200704 | 200912 | 3.6599 | -0.9332 | 8.253 | False |
| 200712 | 200812 | -3.6998 | -7.9966 | 0.597 | False |
| 200712 | 200912 | 7.8571 | 3.2774 | 12.4368 | True |
| 200812 | 200912 | 11.5569 | 6.9772 | 16.1366 | True |
