现代无线移动通信学习

一、绪论

1.1、无线移动通信发展历程

20世纪五六十年代，贝尔实验室蜂窝概念：分出多个小区，每个小区一个基站，相同的频段可以在相距较远的小区间重复使用，小区间干扰处理技术使得相同的频段可以在相邻的小区间重复使用。

第一代移动通信系统是模拟通信系统，形成于20世纪80年代，采用频分多址（FDMA）技术，支持模拟话音业务。

第二代移动通信系统是数字通信系统，形成于20世纪90年代，采用时分多址（TDMA）技术，支持数字话音业务和低速率数据业务(9.6-14.4kbps)。

第三代移动通信系统，形成于 2000 年后，采用码分多址（CDMA）技术，支持多媒体数据业务，峰值速率达 2-10Mbps。

第四代移动通信系统，形成于 2010 年后，采用正交频分复用（OFDM）和多天线 MIMO技术，支持移动宽带数据业务，峰值速率达 100-1000Mbps。

无线通信的特点：

无线信道中实现通信；
带宽有限，取决于可使用的频率资源和信道的传播特性；
干扰和噪声影响大；
在移动通信中存在多径衰落，在移动环境下，接收信号起伏变化；

1.2、无线通信传播链路

单小区内，用户与基站通信前，基站会预先给用户分配时频资源。CDMA和OFDM中，不同用户可以使用相同的时频资源（通过不同的扩频码和空间信道特性分离）。

上行链路：用户向基站；下行链路：基站向用户。

1、编码与交织：信道编码器可采用卷积码、Turbo码、LDPC码等，通过增加冗余信息，提高传输的可靠性。交织器对编码后的比特序列按一定规则重新排列，抵抗无线信道的衰落，可以运用交织技术来分散成串的误差。

2、符号映射：码比特流变成星座图符号。

3、数字基带发送处理：周期性插入收发端均知的同步序列和训练序列，用于在接收端建立系统同步和获得信道参数的估计值。OFDM系统中包括OFDM调制，在蜂窝移动通信系统中还包括时频资源的映射。

4、基带调制：将数字基带信号转化为模拟基带信号。

成形脉冲要满足奈奎斯特条件（均方根升余弦脉冲），一般由DAC完成。

5、载波调制：模拟基带信号转化为可以在空中传播的高频率的带通射频信号。电磁波频率高于100kHz时才可以在空中传播。

$s_{b, I} (t)$ 和 $s_{b, Q} (t)$ 代表实部和虚部。 $s_{b, r} (t)$ 和 $s_{b, a} (t)$ 代表幅度和相位。

6、功率放大：大功率射频信号。

7、无线信道：多径。

$β_{p}$ 、 $τ_{p}$ 、 $ν_{p}$ 、 $ϕ_{p}$ 分别表示幅度衰减、时延、多普勒频移和相位变化

8、低噪放大：低噪声放大之后，进行带通滤波处理，得到带通射频接收信号。

9、载波解调：带通射频接收信号转化为模拟基带接收信号。

10、基带解调：转化为数字基带接收信号，包括滤波（匹配滤波器）、采样。常由ADC完成。

11、数字基带接收处理：利用接收到的同步和训练信号，建立系统同步和获得信道参数的估计值，利用信道估计值，进行信道的均衡，得到发送序列的估计值。

12、解符号映射：得到相应的个比特的估值（利用星座图）。

13、解交织与解码：解交织，然后进行信道解码。

1.3、MIMO-OFDM无线通信

OFDM术将宽带信道分解为一组并行窄带信道，可以克服符号间干扰问题。当发送端和接收端均采用多根天线时，信道容量可以随收发天线个数的最小值线性增长，在同样的带宽内，可支持多倍增加的传输速率。

$N_{T}$ 个发送天线， $N_{R}$ 个接收天线，CM 表征载波调制，PA 表示功率放大，LNA 表示低噪放大、CDM表示载波解调，S/P表示串并转换，ICP表示插入循环前缀。

空时发送处理：生成 $N_{T}$ 路发送数字基带信号，插入同步序列、训练序列。MIMO 发送处理：如空时编码、空分复用、MIMO预编码等。

空时接收处理：利用训练序列，由 $N_{R}$ 路数字基带接收信号得到发送序列的估计值。

二、无线信道

2.1、无限传播信道

反射是指无线电波遇到相对于波长来说很大的物体表面时传播方向发生改变的物理现象，衍射是指无线电波遇到狭缝、小孔时偏离原来直线传播的物理现象，绕射是指无线电波绕过障碍物向前传播的物理现象，散射是指无线电波遇到不光滑表面时扩散传播的物理现象。

大尺度衰落包括与传播距离有关的路径损耗和大障碍物引起的阴影衰落，小尺度衰落是多径信号叠加和移动台移动引起的信号快速起伏变化。

2.2、单天线收发情况下的信道模型

发送端BS不动，移动端的速度为 $\vec{v}$ ，

带通射频接收信号

接收端低噪声放大器输出的带通射频接收信号：

$β$ 是大尺度衰落因子， $Q$ 表示第 $p$ 个多径的第 $q$ 个子径， $v$ 表示车速， $θ_{v, p, q}$ 表示第 $p$ 径的第 $q$ 个子径到达方向与移动方向之间的夹角，$$\lambda 表示载波波长。

模拟基带等效信道

带宽不大时，同一径的不同子径的时延之差较小。

离散时间基带等效信道

静态情况下的基带等效信道

在接收端不移动的情况下：

大尺度衰落

大尺度衰落包含路径损耗和阴影衰落， $β$ 用分贝值表示大尺度衰落:

$K$ 是一个依赖于天线特性和平均信道损耗的常系数， $d_{0}$ 为天线远场的参考距离， $d$ 为收发端之间的距离， $γ$ 为路径损耗指数， $Ψ_{d B}$ 是零均值、方差为 $σ_{Ψ_{d B}}^{2}$ 的高斯随机变量。

多径衰落

$h_{p} (t)$ 建模为均值为零、方差为 $σ_{p}^{2}$ 的复高斯随机变量，实部虚部独立，不同路径之间独立。 $h_{p} (t)$ 幅值是瑞利分布（瑞利衰落）。 $P (τ_{p})$ 表示时延 $τ_{p}$ 的第 $p$ 径的平均功率，即 $h_{p} (t)$ 的幅值平方期望。 $P$ 个径的功率值构成功率时延谱（PDP）。

时延扩展与相干带宽

多径时延扩展反映符号间干扰的程度，包括最大时延扩展和均方根时延扩展。最大时延扩展定义为最大时延径与最小时延径之间的时延差，均方根时延扩展分别定义为：

均方根时延扩展的倒数为相干带宽，当相干带宽远大于信号带宽时，均方根时延扩展远小于信号的符号周期，不存在符号间干扰，信道为平衰落信道。

多普勒扩展与相干时间

移动终端的移动引起多普勒频移，产生信道的时变性。多普勒扩展定义为最大多普勒频移 $f_{d}$ 的两倍，多普勒扩展的倒数为相干时间。当相干时间远大于信号的符号周期时，多普勒扩展远小于信号带宽，信道是慢变信道，包含一组符号的一段时间内的信道可以近似认为是时不变的。

2.3、多天线收发情况下的信道模型

发送端为固定的，配置 $N_{T}$ 根天线，接收端为移动终端，配置 $N_{R}$ 根天线，其移动方向为 $\vec{v}$ 。

带通射频接收信号

　　接收端第 $n_{R}$ 根天线的接收信号：

线阵天线中， $d_{n_{T}}$ 表示发送天线与第一根发送天线的距离。 $θ_{p, q, A O D}$ 表示离开角， $θ_{p, q, A O A}$ 表示到达角，

模拟基带等效信道

$h_{n_{R}, n_{T}, p} (t)$ 表示第 $n_{R}$ 根接收天线和第 $n_{T}$ 根发送天线间的第 $p$ 个多径分量。

令：

模拟基带矢量信号模型：

等效信道冲激响应的矩阵：

离散时间基带等效信道

第 $n_{R}$ 根接收天线与第 $n_{T}$ 根发送天线之间的离散时间基带等效信道的冲激响应 $h_{n_{R}, n_{T}, n, m}$ ：

以相同的向量命名规则（向量每个元素是不同的天线编号变量），离散时间基带矢量信号模型：

信道空间相关与角度扩展

MIMO信道矩阵的各元素是多径时变衰落信道。在宽带情况下，具有时间选择性和频率选择性，时间选择性反映信道时变特性，与时域相关性有关，频率选择性反映信道的频域变化特性，与频域相关性有关。由于不同收发方向上信道的衰落程度不同，MIMO信道还存在空域选择性，这一特性使得MIMO信道矩阵的各元素之间存在着相关性。MIMO信道的功率角度谱和角度扩展反映出信道的空域选择性。

对于接收端， $P (θ_{A O A})$ 表示到达角方向上的信道幅值均方，反映该方向上的平均接收功率，也就是信道的功率角度谱，发送端同理。均方根角度扩展：

收发端角度扩展较小时，信道的空域相关性大。

统计信道模型

MIMO信道的统计建模针对平衰落信道，所建的模型可以应用到多径信道的每个径，或OFDM传输系统的单个子载波。最常用的是分离相关信道模型（直积信道模型），信道矩阵（时变信道中指单个时刻，也就是一条径的信道）：

$\Theta _{R}$ 和 $\Theta _{T}$ 为非负定矩阵，即MIMO信道的接收相关阵和发送相关阵， $H_{iid}$ 是各元素iid的随机矩阵。

联合相关信道模型：

$U$ 和 $V$ 是确定的、酉矩阵， $H_{ind}$ 是各元素非iid的随机矩阵。

三、OFDM

3.1、单载波传输与多载波传输

对于单载波，离散时间基带等效信号， $n$ 表示接收端采样数编号， $m$ 表示发送端的采样数编号：

信道均衡的复杂度随信道的长度而显著增加，最优均衡器（最大似然检测器）的复杂度随着L呈指数增长。因此，随着带宽的增加，单载波系统的复杂度显著增加。

发送端串并转换得到 $N_{C}$ 个数据流，子带的带宽是信号带宽的 $1 / N_{S}$ （ $N_{S} > N_{C}$ ，子载波不全用来传递信息），在子带之间存在保护带和子带带宽远小于信道相干带宽的情况下，重建信号中无符号间干扰。为使得子带带宽远小于信道相干带宽，可以增加子带个数（收发滤波器变复杂），仍保持宽子带带宽，要使用抗符号干扰的均衡技术。

3.2、OFDM原理

OFDM的收发滤波器为特殊的调制滤波器（IDFT和DFT实现），循环前缀使得子带之间存在频谱交叠，在多径信道下仍然没有子带间干扰和符号间干扰。

串并转换，发送端对数据进行分块，每一块有多个码元，每个块是一个OFDM符号，每个子载波放一个码元符号，发送端的数据是从频域开始的。

IDFT：对每个数据块进行 $N_{C}$ 点IDFT，得到时域信号块：

矢量表达， $w = e^{- j 2 π / N_{c}}$ ：

发送端串并转换，得到串行数据：

插入或去除 $N_{g}$ 个CP，由于信道的长度 $L$ 小于 CP 的长度，前后OFDM信号之间没有干扰。

DFT：接收端得到时域信号后转换为频域信号：

频域均衡：都是单点均衡器。

3.3、从多载波传输看OFDM

第 $k$ 个发送和接收子带滤波器的冲激响应分别为：

各子带滤波器为原型滤波器经过调制得到，原型滤波器的冲激响应为矩形序列，生成的各子带滤波器冲激响应的幅值序列均为矩形序列。发送信号是各频率子带信号的叠加：

接收信号（不含CP）：

3.4、从分块传输看OFDM

分块传输是将发送信号分成多个数据块依次发送，并在相邻的两块之间加入保护间隔，保护间隔大于信道的时延扩展。如果每个传输数据块前的保护信号取自该数据块尾部的一段数据，则构成带循环前缀的分块传输。接收信号：

分块传输不仅消除了块与块之间的干扰，而且块内的符号干扰可以通过频域均衡方法消除。在带循环前缀的分块传输框架下，使得信息传输速率最大化的传输是OFDM传输。

3.5、MIMO-OFDM传输

发送端有 $N_{T}$ 个数据流，分别使用OFDM调制，接收端 $N_{R}$ 个数据流，分别使用OFDM解调，即每个天线上都有多个块，每个块内都有多个码元。

接收信号中仅存在空间域干扰，这将大大简化接收端的空时处理。

3.6、实际应用中的OFDM

虚载波和时域加窗处理：射频信号必须限制在一定的频段之内，对射频信号的带外功率大小要有严格的要求。各子载波相应的射频发送信号频谱的带外衰减较慢，使得OFDM发送射频信号的带外功率较大——使用虚载波和时延加窗处理。虚载波是两端不用的子载波，使用时置零。时域加窗是在相邻OFDM符号之间加升余弦窗处理。

OFDM系统同步：在4G系统中，采用收发端均已知的同步序列进行系统时频同步。
OFDMA：将OFDM系统的子载波进行分组，不同的用户可以使用不同的子载波组，与基站进行通信，实现多用户多址通信（OFDMA）
峰均比问题：发送射频信号的包络起伏较大，这会降低功率放大器的功率效率。在4G系统中，下行链路采用OFDM，而上行链路各用户采用DFTS-OFDM（离散傅利叶变换扩展OFDM）传输，在一定程度上改善了峰均比性能。

四、DFTS-OFDM

4.1、OFDM的峰均功率比问题

射频发送信号的包络起伏，可以用模拟基带信号峰均功率比（PAPR）来度量，对于分块传输，可以在每个信号块上定义。

为评估发送信号的PAPR性能，通常采用 PAPR 的累积互补分布函数（CCDF），其定义为：

调制符号功率为1，IDFT所得的信号峰值功率可达到 $N_{C}$ ，多个子载波的IDFT所得信号接近高斯分布，数模转换之后的模拟信号也逼近高斯分布。常用的降低PAPR方法为限幅，DFTS-OFDM的发送信号具有与单载波信号相似的特征。上行多用户在不同子载波组上使用DFTS-OFDM形成单载波频分多址（SC-FDMA），4G上行采用SC-FDMA，而下行采用OFDMA。

4.2、DFTS-OFDM

发送端的串并转换是将发送数据序列转换成 $M$ 个并行数据流 $d_{l, m}$ ，即进行块尺寸为 $M < N_{C}$ 的分块处理，然后对每块数据进行 $M$ 点DFT变换。发送端第 $l$ 个OFDM符号：

$P$ 为子载波映射矩阵，把 $M$ 个符号映射到 $N_{C}$ 个子载波上。 $W_{M}$ 为DFT矩阵。在接收端：

解子载波映射、均衡后，

进一步可以得到发送信号的估计值。

DFTS-OFDM时域发送信号具有单载波信号相似的特征，在插入CP之前，第 $l$ 个OFDM符号时域为：

当 $N_{C}$ 是 $M$ 的整数倍时，映射函数 $P$ 将信号块分配给连续 $M$ 个子载波（即门函数）：

${\tilde{x}}_{l, i}$ 是 ${\tilde{d}}_{l, m}$ 插值循环滤波得到，在单载波传输系统中，发送基带信号是数据序列经过插值滤波（基带成形或基带调制）得到。单载波系统中，升余弦因子为0时PAPR最差，DFTS-OFDM对应的就是升余弦因子为0时的情况。接收数据符号之间存在干扰，这与传统的单载波传输情况相似，所不同的是，由于DFTS-OFDM 传输是带循环前缀的分块传输，可以采用单点频域均衡，使得接收端的均衡复杂度显著降低。然而，在采用频域均衡方法的情况下，在解码之后的传输误码性能比标准的OFDM传输要有所下降，典型地，这一性能下降与峰均比降低带来的性能增益基本相当，显示不出整体性能优势。

4.3、MIMO DFTS-OFDM

$d_{n_{T}, l}$ 表示第 $n_{T}$ 个天线上第 $l$ 个符号， $g_{n_{R}, l}$ 表示第 $n_{R}$ 个天线上第 $l$ 个符号:

写为矩阵形式：

接收信号中存在空间域干扰和时间域干扰，接收端空时频处理的复杂度较MIMO-OFDM系统要高。

4.4、实际应用中的DFTS-OFDM

虚载波和时域加窗处理：与标准OFDM传输一样，DFTS-OFDM 传输需要使用虚载波和时域加窗处理，满足实际系统对带外衰减的要求。
DFTS-OFDM传输的同步：在4G上行链路中，采用DFTS-OFDM传输，移动终端在建立下行接收同步的基础上，需要发送上行定时同步信号，保证上行时间同步传输。
单载波频分复用技术（SC-FDMA）：在蜂窝移动通信系统中，一个小区内的多个用户与基站进行通信，对于上行链路应用，将OFDM的子载波进行分组，不同的用户将其频域发送信号映射到不同的子载波组，与基站进行通信，实现上行多用户多址通信。

五、OFDM信道估计

接收端通过接收到的信号获得信道参数估计值的过程，称为信道估计。导频辅助的信道估计方法，即：发送端在选定的时频资源上发送已知信号，称为导频信号，接收端利用接收到的导频信号，估计出信道参数。

5.1、信道估计基础知识

一般性模型： $h$ 为 $M$ 维信道矢量，发送端信息， $z$ 为高斯噪声， $y$ 为 $N$ 维接收信号矢量， $A$ 为已知 $N * M$ 矩阵。

5.1.1、最大后验概率（MAP）估计

若 $h$ 是复高斯分布，则可通过上式化简为：

5.1.2、最大似然（ML）估计

这等同于假设 $h$ 服从均匀分布时的MAP估计。

5.1.3、最小二乘（LS）估计

5.1.4、最小均方误差（MMSE）估计

估计出使得与真实 $h$ 均方误差最小的线性估计：

在信道估计方面，最大似然估计与最小二乘估计是相同的，在信道参数为复高斯分布的情况下，最大后验概率估计与最小均方误差估计是相同的。

5.2、OFDM信道估计

三种典型的导频结构，分别为块状导频、梳状导频和格状导频。导频的时间间隔由相干时间确定，导频的子载波间隔由相干带宽确定。

$x_{k}$ 表示导频信号，是主对角元素阵（ $N_{c} * N_{c}$ ）， $y_{k}$ 是接收信号。维度为子载波数 $N_{C}$ ， $H_{k}$ 是频域量。

时域信道矢量的LS估计为：

将其做DFT变换，得到基于DFT的信道估计：

与频域LS估计相比，基于 DFT 的信道估计的性能有显著提高。

设信道各抽头相互独立，第 $n$ 个抽头 $h_{n}$ 的均值为零，方差为 $σ_{n}^{2}$ 。频域MMSE估计为：

MMSE信道估计的均方误差最小，其均方误差与导频序列有关。若使误差最小：

　　　　功率约束：

当为对角阵时误差最小，频域导频序列是幅值为１的恒模序列时，为最优序列。

MMSE信道估计为：将LS信道估计变换到时域，进行时域单点MMSE滤波，之后再变换到频域，得到频域信道矢量。

5.3、MIMO-OFDM信道估计

$N_{T}$ 个发送天线上都需要发送导频信号，采用码分导频和频分导频区分不同天线。具体有：块状码分导频、格状码分导频、格状频分导频。

Kronecher积，用于调整维度，保证形式的一致性。

由于维度问题，直接估计 $h_{f}$ 的效果较差，使用时域信道的估计值 $h$ 来进一步导出：

MMSE估计：

导频设计：

功率约束：

5.4、实际的OFDM信道估计

在4G系统中使用ZC序列作为上下行链路的导频，上行采用块状码分导频，下行采用格状频分导频。
仅使用部分子载波，频域信道矢量与时域信道矢量之间不再严格满足DFT变换关系，可采用离散余弦变换DCT。
利用信道参数之间的空、时、频域的相关性。

六、MIMO信道容量与最优传输

6.1、发送端知道瞬时信道信息时MIMO信道容量与最优传输

发送端和接收端均知道瞬时信道信息情况下，在静态或准静态信道环境下，接收端可以通过信道估计获得瞬时信道信息，发送端可以通过接收端的反馈或利用时分双工（TDD）系统的信道互异性获得瞬时信道信息。

$P$ 是功率约束， $z$ 的信息与 $x$ 无关，因此只需最大化 $y$ 的熵。假设 $x$ 的均值为0，根据最大熵定理，当 $y$ 服从循环对称复高斯分布时，熵最大。当 $x$ 为循环对称复高斯矢量时， $y$ 为循环对称复高斯矢量，结合 $x$ 的功率约束：

选择满足条件的 $Q$ （ $x$ 的协方差矩阵）使其最大：

此时发送信号的最优设计即为设计最优的协方差矩阵 $Q$ ， $Q$ 是非负定的厄米特阵，EVD分解：

设

假设 $\tilde{x}$ 是复正态分布的，此时问题变为设计最优的 $Λ$ 和 $V$ ，其物理解释是： $N_{T}$ 个相互独立的复高斯发送信号分别经过由 $Λ$ 各对角元素确定的功率调整后，分别在 $V$ 各列所确定的发送方向上发送，所发送的信号矢量即为 $x$ 。将信道 $H$ 使用SVD分解，再对 $H^{H} H$ 这个非负定厄米特矩阵做EVD：

可以求得容量可达的最优传输为， $Λ$ 可用注水算法求得：

6.2、发送端仅知统计信道信息时 MIMO 信道容量与最优传输

接收端知道瞬时信道信息而发送端仅知统计信道信息，信道的统计信息取决于所采用的统计信道模型，考虑联合相关 MIMO 信道模型：

$U_{R}$ 和 $U_{T}$ 为酉矩阵， $H_{i n d}$ 为随机矩阵，元素独立，但不同分布。统计信道信息为上述矩阵各元素的统计信息。假设信道矩阵是遍历的随机矩阵，相应的信道容量为遍历信道容量。

当 $x$ 是均值为零的循环对称复高斯矢量时，取得最大值：

最优传输设计问题即为设计最优的协方差矩阵 $Q$ ，同样对 $Q$ 进行EVD分解：

同理，可以注水算法求解。

6.3、MIMO预编码传输

$\tilde{x}$ 各元素独立，均值为零，方差为1的循环对称高斯分布。 $V$ 是与信道矩阵有关的酉矩阵，其列向量表示发送方向。 $Λ$ 是与发送总功率约束有关的对角矩阵，其对角元素表示发送功率。

在实际中，收发样本不可能无限大， $\tilde{x}$ 没有可行设计方法只能逼近。 $P = V Λ^{1 / 2}$ 为预编码矩阵，在实际中根据信道情况或信息的变化，调整 $\tilde{x}$ 的维度、预编码来自适应MIMO传输。

七、空间分集与空时编码

MIMO传输主要分两类：①空分复用传输，即传输一组并行数据流，提高频谱效率。②空间分集传输，即对单个数据流进行收发空时处理，提高分集增益和传输的可靠性。

当发送端不知道信道信息时，比较可行的传输方法是对单个数据流进行空间分集传输，获得空间分集增益，在MIMO系统中，得到广泛应用的空间分集传输技术是空时编码技术。

7.1、接收分级

SIMO系统，单天线发送， $N_{R}$ 个天线接收，瑞利平衰落信道，接收信号 $y$ ：

$x$ 零均值发射信号，方差1， $E_{x}$ 是发送信号平均功率； $h$ 是信道矢量，元素是每根天线的信道矢量，服从循环对称复高斯分布； $y$ 是每接收信号的矢量。 $z$ 为每个天线的噪声，均值为0，均方为1，平均功率 $N_{0}$ 。根据个天线接收信号的加权和得到估计值 $\hat{x}$ ：

估计信号的信噪比：

使得 $ρ_{\hat{x}}$ 最大的加权合并接收机，称为最大比合并（MRC）接收机。当 $w = h^{*}$ 时 $ρ_{\hat{x}}$ 最大。

每个接收通道的加权值与信道响应匹配，因此也称为匹配滤波（MF）接收。

7.2、空时编码概述

$N_{T}$ 个发送天线， $N_{R}$ 个接收天线，瑞利平衰落信道， $x_{n}$ 是 $N_{T}$ 维发送序列， $y_{n}$ 是 $N_{R}$ 维发送序列：

空时编码过程：对 $d_{k}$ 分组，每组 $N$ 个数据符号，再把 $N$ 个数据符号空时编码成 $T$ 个发送信号矢量。空时解码过程：对 $y_{n}$ 进行分组，每个组包含 $T$ 个接收信号矢量，与发送端空时编码的码字相对应；对每个组进行空时解码，得到发送码字的检测值，由于 $T$ 个调制符号时间内传输 $N$ 个数据符号，空时编码的符号速率为 $R = N / T$ 。

考虑一个空时编码码字（ $N$ 个 $d_{k}$ ），发送端编码得到 $T$ 个 $x_{n}$ 维度为 $N_{T}$ ，假设 $T$ 个时刻信道是不变：

最大似然检测，当 $H$ 和 $X$ 已知时， $Y$ 的概率密度函数：

最大似然检测下，出现成对检测差错的条件是：

在对数尺度下，平均成对差错概率满足：

第一项中的$$rN_{R}反映曲线下降的快慢，第二项反映曲线向左平移的多少。前者称为分集增益，后者称为编码增益。

在空时编码的设计中有两种准则，即秩准则和行列式准则：在 $T \geq N_{T}$ 时，最大分集增益为 $N_{T} N_{R}$ ，均为满秩矩阵，其行列式为非零值。

7.3、空时分组码

Alamouti空时编码是针对两根发送天线的正交空时编码， $N_{T} = N = T = 2$ ，符号速率 $R = 1$ 。码字矩阵：

码字矩阵具有正交性，Alamouti空时编码可以获得最大分集增益 $2 N_{R}$ ，接收信号：

最大似然空时解码可简化为：

当发射天线大于2时，码字矩阵的各行之间相互正交，数据符号为复数，空时编码的码字 $X$ 由 $\pm x_{i}$ 和 $\pm x_{i}^{*}$ 的线性组合得到，最大似然解码可以通过线性处理来实现：

八、MIMO信号检测

8.1、信号模型

MIMO问题中的信号检测模型：

$y$ 为 $N$ 维接收信号矢量， $x$ 为 $M$ 维接收信号矢量，各元素是星座图的复数符号。考虑接收端已知瞬时信道信息的情况，窄带MIMO系统（多个子载波一起算），信号带宽小于相干带宽，信道为平衰落信道。宽带MIMO系统可看作每个子载波单独影响，单独计算。对于采DFTS-OFDM技术的宽带MIMO系统，各子载波上的接收信号与所有使用的子载波上的发送信号矢量都有关系，信号检测需要在所有使用的子载波上联合进行。