Java编程--RSA算法中的大整数运算

Java编程–RSA算法中的大整数运算

1. RSA原理浅析

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RSA是利用陷门单向函数实现的，其安全基础依赖于大整数的分解问题的难解性

2. 算法过程

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为了加深对RSA算法的了解，接下来通过简单的一个例子来分析一下：

eg:根据已知参数：$p = 3, q = 11, M = 2$，手工计算公私钥，并对明文进行加密，然后对密文进行解密。

（1）首先计算$n = p × q = 3 × 11 =33$
（2）$Φ(n) = (p - 1)(q - 1) = 2 × 10 = 20$
（3）选取加密密钥$e = 3$, 因为有$1< e < Φ(n)$且$gcd(3,20) = 1$,$e$作为公开加密密钥
（4）计算$d$, 使$de ≡ 1(\mod Φ(n))$,容易求解$d = 7$,$d$是私钥
（5）加密过程：对于明文$M=2， c = M^e\mod n = 23 \mod 33 = 8$
（6）解密过程 $M = c^d \mod n = 87 \mod 33 = 2097152 \mod 33 = 2$

不难理解，当p,q非常大时，攻击者想要通过n值分解为p x q将是极其困难的，因此我们要尽可能找到大的素整数。

3. Java大整数运算

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程序示例: 随机选择3个较大的素数$x、e、 n$ ，计算 $x^e \% n$

    //生成指定比特长度的大素数
    public static BigInteger genBigPrimer(int length){
    	Random random = new Random(new Date().getTime());
		return BigInteger.probablePrime(length, random);    	
    }
    
    //大素数运算
    public static void bigPrimerCalc(int len_X,int len_E, int len_N){
    	//Get x,e,n
    	BigInteger big_X = genBigPrimer(len_X);
    	BigInteger big_E = genBigPrimer(len_E);
    	BigInteger big_N = genBigPrimer(len_N);
    	
    	//Calculate x^e%n
    	BigInteger BigResult = big_X.modPow(big_E, big_N);
    	
    	System.out.println( big_X+"^" );
    	System.out.println( big_E+ " mod " );
    	System.out.println( big_N+ " is " );
    	System.out.println( BigResult);
    }