RMQ问题(区间最值查询)
RMQ(区间最值查询)是指这样一个问题:给定一个数组 ,其中有N个数字,给定区间[l ,r],询问在这个区间内的最值。
这种的解决方法:暴力,线段树(效率较低)
所以我们给出一种效率较高的算法:st算法,该算法能在O(nlogn)的预处理后达到O(1)的查询效率。
核心思路:
1.预处理(dp):
假设数组arr为:1,2,6,8,4,3,7
我们设二维数组dp[i][j]表示从第i位开始连续 个数中的最小值。例如dp[2][1]就表示从第二位数开始连续两个数的最小值(也就是从第二位数到第三位数的最小值),即2,6中的最小值,所以dp[2][1] = 2;
其实我们求 dp[i][j] 的时候可以把它均分成两部分,第一部分是从 到
,第二部分从
到
,为什么可以这么分呢?其实我们都知道二进制数前一个数是后一个的两倍,那么可以把
到
这个区间通过
分成相等的两部分, 那么转移方程很容易就写出来了。(dp[i][0]就表示第i个数字本身)
dp[i][j] = min(dp [i][j - 1], dp [i + (1 << j - 1)][j - 1])
代码实现:
1 void rmq_init(int arr[], int N) { //dp是全局数组,N指一共N个数 2 for(int i = 1; i <= N; i++) { 3 dp[i][0] = arr[i]; 4 } 5 for(int j = 1; (1<<j) <= N; j++) { //注意ij顺序 6 for(int i = 1; i+(1<<j)-1 <= N; i++) { 7 dp[i][j] = min(dp[i][j-1], dp[i+(1<<(j-1))][j-1]); //先更新每两个元素中的最小值,然后通过每两个元素的最小值获得每4个元素中的最小值,依次类推更新所有长度的最小值。 8 } 9 } 10 }
2.查询部分:
1 int rmq(int l, int r) { 2 int k = log2(r-l+1); //c语言math.h头文件 3 return min(dp[l][k], dp[r-(1<<k)+1][k]); 4 }
只写一个dp[][]只能查询2的n次方个数,若要查询的数的个数不是2的指数个则无法精准查询(比如查询5个数),故用
dp[l][k], dp[r-(1<<k)+1][k]以包含整个查询区间。
参考博客:https://blog.csdn.net/qq_41311604/article/details/79900893