2021 年 9月随笔档案 - lovelyred

生成函数

摘要：定义序列

a

$a$ 的普通生成函数

(O G F)

$(OGF)$ ，定义为形式幂级数：

F (x) = \sum_{n} a_{n} x^{n}

$F(x)=\sum_{n}a_nx^n$

a

$a$ 既可以是有穷序列，也可以是无穷序列，常见例子：

1.

$1.$ 序列

a =< 1, 2, 3 >

$a=<1,2,3>$ 的

O G F

$OGF$ 是

1 + 2 x + 3 x^{2}

$1+2x+3x^2$

2.

$2.$ 序列

a =< 1, 1, 1, \dots >

$a=<1,1,1,…>$ 的

O G F

$OGF$ 是$\ 阅读全文

posted @ 2021-09-27 20:20 lovelyred 阅读(214) 评论(2) 推荐(0) 编辑

多项式乘法逆

摘要：多项式乘法逆给定

F (x)

$F(x)$ 求

G (x)

$G(x)$ 满足

G (x) F (x) \equiv 1 (m o d x^{n})

$G(x)F(x)\equiv 1\ (mod\ x^n)\$ 假设已知 $$ H(x)F(x)\equiv 1\ (mod\ x^{\lceil\frac{n}{2}\rceil})\ F(x)(G(x)-H(x))\equiv 0\ ( 阅读全文

posted @ 2021-09-27 20:19 lovelyred 阅读(48) 评论(0) 推荐(0) 编辑

多项式牛顿迭代

摘要：多项式牛顿迭代设

f (g (x)) \equiv 0 (m o d x^{n})

$f(g(x))\equiv 0 (mod\ x^n)$ 求出此模意义下的

g (x)

$g(x)$ 当

n = 1

$n=1$ 时，单独求出

[x^{0}] f (g (x))

$[x^0]f(g(x))$ 假设已经得到了模

x^{⌈ \frac{n}{2} ⌉}

$x^{\lceil\frac{n}{2}\rceil}$ 意义下的解

g_{0} (x)

$g_0(x)$ ，要求模

x^{n}

$x^{n}$ 意义下的阅读全文

posted @ 2021-09-27 20:18 lovelyred 阅读(36) 评论(0) 推荐(0) 编辑

「数学」快速幂

摘要：原理

a^{n} = \begin{matrix} \underset{⏟}{a a \dots a} n \end{matrix} a^{13} = a^{(1101)_{2}} = a^{8} a^{4} * a^{1}

$a^n=\begin{matrix} \underbrace{ aa…a } \ n \end{matrix}\ a^{13}=a^{(1101)_2}=a^8a^4*a^1$ 应用矩阵快速幂和多次置换计算斐波那契数列可以构建

2 * 2

$2*2$ 的转移矩阵从

F_{i}, F_{i + 1}

$F_i,F_{i+1}$ 到$F 阅读全文

posted @ 2021-09-22 21:58 lovelyred 阅读(76) 评论(0) 推荐(0) 编辑

「算法」贪心

摘要：证明方法

1.

$1.$ 反证法：交换当前状态下的两个元素后，答案不会变得更优，则当前状态已经是最优解

2.

$2.$ 归纳法：先证明边界

n = 1

$n=1$ 成立，再证明

F_{n}

$F_n$ 成立时

F_{n + 1}

$F_{n+1}$ 成立常见类型交换邻项排序贪心例题 [NOIP2012 提高组] 国王游戏设

p_{1}

$p_1$ 的参数为

a_{1}, b_{1}

$a_1,b_1$ ，阅读全文

posted @ 2021-09-22 16:57 lovelyred 阅读(42) 评论(0) 推荐(0) 编辑

「组合数学」一：什么是组合数学

摘要：好怪的标题前言组合数学所关心的问题就是把某个集合中的对象排列成某种模式，使其满足一些指定的规则。排列的存在性和排列的列举或分类是两种反复出现的通用问题排列数量较小时我们可以枚举，当数量较大时我们就要考虑在不列出它们的情况下确定这些排列的技术问题还有另外两种常常出现的组合问题：研究已知排列和阅读全文

posted @ 2021-09-11 14:35 lovelyred 阅读(1871) 评论(0) 推荐(0) 编辑

「具体数学」三：整值函数

摘要：底和顶

x - 1 < ⌊ x ⌋ \leq x \leq ⌈ x ⌉ < x + 1

$x-1<\lfloor x \rfloor \leq x \leq \lceil x \rceil <x+1$ 底和顶函数关于坐标轴互为反射

⌊ - x ⌋ = - ⌈ x ⌉

$\lfloor -x \rfloor=-\lceil x \rceil$ $$\lceil -x \rceil = - \lfloor x 阅读全文

posted @ 2021-09-10 21:22 lovelyred 阅读(399) 评论(0) 推荐(0) 编辑

「图论」树上问题

摘要：树的直径定义树上最长链（最远点对）求解解法一：贪心法任取一点作为起点，找到树上距离该点最远的点，记作

s t

$st$ ，以

s t

$st$ 为起点找到树上距离

s t

$st$ 最远的点，记作

e d

$ed$ ，

s t

$st$ 到

e d

$ed$ 即为直径优点：起点和终点方便获得缺点：不能处理负边权解法二：树

d p

$dp$ 任取一点作为根，记录每点阅读全文

posted @ 2021-09-01 19:06 lovelyred 阅读(173) 评论(0) 推荐(0) 编辑

red

初相遇，是千山微雨，你是我人间朝夕

09 2021 档案

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