ABC217

ABC217

A#

签到

B#

签到

C#

签到

D#

有一根长度为$L$的木棍，有以下两个操作：

$1.$在$x_i$处断开

$2.$回答包含$x_i$处的木棍的长度

解：

$set$二分

E#

给定一个空序列，有以下三种操作：

$1.$在末尾添加一个字符$x$

$2.$输出首字符并删除

$3.$将序列升序排序

解：

用$queue$维护序列，升序排序时将序列中的所有字符都加入小根堆

输出时优先输出小根堆内堆顶，堆为空时输出队首

F#

一列$2n(n\leq 200)$个人，有$m$对友好关系，每次选择相邻的两个友好的人删掉，求删掉所有人的方案数

解：

一眼区间$dp$

但是计算方案数的区间$dp$需要特殊的统计方法保证不重不漏

要不重复就要利用当前枚举到区间的特征

枚举$k\in[l+1,r]$，表示最后一步是由$l,k$配对而成

$f[l][r]=\sum_{k=l+1}^r f[l+1][k-1]*f[k+1][r]*\dbinom{\frac{r-l+1}{2}}{\frac{k-l+1}{2}}$

G#

将$1\sim n(n\leq 5000)$分配到$k(k=1,2,…,n)$个非空集合里，$id$号模$m$同余的人不能在一个集合里，有多少种分组方式？

解：

考虑没有限制时，答案为第二类斯特林数$S_2[n][k]$

第二类斯特林数的递推式

$$dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j]*j$$

其中第一部分表示第$i$个数字自成一组，不需要考虑限制

第二个部分表示第$i$个数字加入到现有的组中，只要去掉不能加入的组

设$sum[i]$为$1\sim i-1$中模$m$与$i$同余的数的个数

$$dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i][j]*(j-sum[i])$$

H#

小人开始时在数轴上的原点，每个时刻可以选择向左移动一步或向右移动一步

有$n(2e5)$次操作，每次在$t_i$时刻$x_i$处出现出现一把向左或向右发射的水枪，对小人造成$|x_i-pos|$的伤害，如果在水枪背侧则不受伤害

求受到的最少伤害

解：

https://www.cnblogs.com/ak-dream/p/AK_DREAM127.html

这篇写得好

定义一个$dp$状态：$dp_{t,x}$表示$t$时刻在$x$处受到的最少伤害，$F_{t,x}$表示$t$时刻在$x$处受到的伤害

有转移方程

$$dp_{t_i,x}=F(t,x)+min\{dp[t_{i-1}][y],y\in[x-\Delta t,x+\Delta t]\}$$

然后我们需要敏锐地观察力和经验发现，对于固定的$t_i$，$(x,dp_{t,x})$构成了一个下凸函数

那么可以发现对于凸壳左半侧，$dp_{t_i,x}=dp_{t_{i-1},x+\Delta t}$

对于右半侧$dp_{t_i,x}=dp_{t_{i+1},x-\Delta t}$

等于将左半侧凸壳向右移动$\Delta t$，右半侧凸壳向左移动$\Delta t$

第二部分$F(t,x)$，以向左发射为例，对于小于$x_i$的部分是一个斜率为$-1$的一次函数，对于大于$x_i$的部分是贡献为$0$的常函数

现在介绍维护凸壳，每次只会对凸壳某一部分的斜率改变一个单位，且相邻两部分之间斜率相差$1$，因为只要维护凸壳的断点在哪里

将左侧和右侧分开维护，并手动统计斜率为$0$的部分的答案

后面细节看上面博客