生成函数

定义#

序列$a$的普通生成函数$(OGF)$，定义为形式幂级数：

$$F(x)=\sum_{n}a_nx^n$$

$a$既可以是有穷序列，也可以是无穷序列，常见例子：

$1.$序列$a=<1,2,3>$的$OGF$是$1+2x+3x^2$

$2.$序列$a=<1,1,1,…>$的$OGF$是$\sum_{n\geq 0}x^n$

$3.$序列$a=<1,2,4,…>$的$OGF$是$\sum_{n\geq 0}2^nx^n$

$4.$序列$a=<1,3,5,…>$的$OGF$是$\sum_{n\geq 0}(2n+1)x^n$

如果序列$a$有通项公式，那么它的$OGF$的系数就是通项公式

基本运算#

考虑两个序列$a$和$b$的$OGF$，分别是$F(x)$和$G(x)$，那么有

$$F(x)±G(x)=\sum_{n}(a_n±b_n)x^n$$

因为$F(x)±G(x)$是序列$<a_n±b_n>$的$OGF$

考虑乘法运算，即卷积

$$F(x)*G(x)=\sum_{n}x^n\sum_{i=0}^n a_ib_{n-i}$$

因为$F(x)*G(x)$是序列$<\sum_{i=0}^n a_ib_{n-i}>$的$OGF$

封闭形式#

形式幂级数形式不好表示，考虑转化为封闭形式

$a=<1,1,1,…>$的$OGF \ F(x)=\sum_{n\geq 0}x^n$可以列出

$$F(x)=1+x+x^2+…\\ xF(x)=x+x^2+x^3+…\\ xF(x)+1=F(x)\\ F(x)=\frac{1}{1-x}$$

这就是$\sum_{n\geq 0}x^n$的封闭形式

考虑等比数列$<1,p,p^2,p^3,…>$的普通生成函数$G(x)=\sum_{n\geq 0}p^nx^n$，有

$$G(x)px+1=G(x)\\ G(x)=\frac{1}{1-px}$$

例题#

$1.a=<0,1,1,1,…>$

$$xF(x)+x=F(x)\\ F(x)=\frac{x}{1-x}\\ $$

$2.a=<1,0,1,0,1,…>$

$$x^2F(x)+1=F(x)\\ F(x)=\frac{1}{1-x^2}$$

$3.a=<1,2,3,4,…>$

$$F(x)=\sum_{n\geq 0}(n+1)x^n\\ 令n=n+1\\ F(x)=\sum_{n\geq 1}nx^{n-1}\\ =\sum_{n\geq 0}(x^n)'\\ =(\frac{1}{1-x})'\\ =\frac{1}{(1-x)^2}$$

$4.a_n=\dbinom{m}{n}$

$$F(x)=\sum_{n}\dbinom{m}{n}x^n1^{m-n}\\ =(1+x)^m$$

$5.a_n=\dbinom{n+m}{n}$

归纳法证明：$a_n=\frac{1}{(1-x)^{m+1}}$

$$m=0时,F(x)=\frac{1}{1-x}\\ m>0时\\ \frac{1}{(1-x)^{m+1}}=\frac{1}{(1-x)^m}\frac{1}{1-x}\\ =(\sum_{n\geq 0}\dbinom{m+n-1}{n})(\sum_{n\geq 0}x^n)\\ =\sum_{n\geq 0}(\sum_{i=0}^{n}\dbinom{m-1+i}{i}x^i*1^{n-i}x^{n-i})\\ =\sum_{n\geq 0}\dbinom{n+m}{n}x^n\\ $$

斐波那契数列生成函数#