「组合数学」二：排列与组合

四个基本计数原理

四原理之外：一个非常基础的原理，全体等于各部分之和

设\(S\)是集合，集合\(S\)的一个划分是满足下面条件的\(S\)的子集\(S_1,S_2,…,S_m\)的集合，即使得\(S\)的每一个元素恰好只属于这些子集中的一个子集：

\[S=S_1∪S_2∪…∪S_m\\ S_i∩S_j=\varnothing\ (i\neq j) \]

注意到根据这个定义，划分的部分可以为空，但实际划分一个或多个空集通常没有意义，集合\(S\)的对象数目记作\(|S|\)

加法原理

设集合\(S\)被划分成两两不相交的部分\(S_1,S_2,…,S_m\)。则\(S\)的对象数目可以通过确定它的每一个部分的对象数目并相加得到

\[|S|=|S_1|+|S_2|+…+|S_m| \]

如果允许集合相交，那只能使用后面的容斥原理了

使用加法原理的技巧是将集合划分成少量的易处理部分

乘法原理

令对象\(S\)是有序对\((a,b)\)的集合，其中第一个对象\(a\)来自大小为\(p\)的一个集合，而对于对象\(a\)的每个选择，对象\(b\)有\(q\)种选择，于是，\(S\)的大小为\(p*q\)

\[|S|=p*q \]

减法原理

令\(A\)是一个集合，而\(U\)是包含\(A\)的更大集合。设

\[\overline{A}=\frac{U}{A}=\{x\in U,x\notin A\} \]

是\(A\)在\(U\)中的补，那么\(A\)中的对象数目\(|A|\)由下列法则给出：

\[|A|=|U|-|\overline{A}| \]

在\(\overline{A}\)和\(U\)比\(A\)更好计数时减法法则更有效

除法原理

令\(S\)是一个有限集合，把它划分成\(k\)个部分使得每一部分包含的对象数目相同。于是，此划分中的部分的数目由下述公式给出：

\[k=\frac{|S|}{在每一个部分中的对象数目} \]