微积分入门

不会这东西啥也学不动啊……

前言

懒得像线代写那么详细了，这这篇确保自己几个重要公式和定义掌握了

符号定义：\(d\)+某个变量表示某个变量的极小的一点变化

\(upd\):终于不用当做观影总结啦！留个坑，过两天把秦神课件上的内容补上

导数

导数形式

对于任意函数\(f(x)\)，它的导数\(f'(x)\)为\(\frac{df(x)}{dx}=\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}\)

导数定义

导数在有些人的理解中可能会被概括为：某个函数的瞬时变化率

这个概括的确可以帮助人理解，但是瞬时有变化吗？这显然是矛盾的

那么导数究竟是什么？

我们考虑一个实际例子：汽车在行驶过程中的测速仪是如何测出当前时刻的速度的？

测速仪会显示出汽车在很短的时间内移动的距离，再除以这段很短的时间，将得到的答案近似为当前时间的速度

对测速仪来说，它绕开瞬时变化率，转而研究很短一段时间内的变化率解决了这个问题

回到导数上来，我们对汽车建立一个数学模型：\(s(t)\)为汽车\(t\)时刻内走过的位移

那么\(s(t)\)的导数可以表示为\(\frac{ds}{dt}(t)\)，即穿过这条函数上\(s(t)\)和\(s(t+dt)\)两点直线的斜率

当\(dt\)越来越趋近于\(0\)，那么这两个也越来越近，直线越来越逼近在\(t\)点时图像的切线

所以导数在数学上的含义是：经过图像上某一点的切线

但是瞬时变化率是没有意义的，我们应该把导数的实际含义看作“某一点附近的变化率的最佳近似”

这段貌似有点矫情，不理解也不妨碍看下面的内容或者做题

代数求导

考虑对\(f(x)=x^3\)求导数

\(f'(x)=\frac{df(x)}{dx}=\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}=\frac{(x+dx)^3-x^3}{dx}=\frac{x^3+3x^2(dx)+3x(dx^{2})+dx^3-x^3}{dx}=\frac{3x^2(dx)+3x(dx^{2})+dx^3}{dx}=3x^2+3x(dx)+dx^2\)

当\(dx\)逼近\(0\)时，含\(dx\)的项可以忽略，所以最终\(f'(x)=3x^2\)

几何求导

我们可以把\(f(x)=x^2\)看作求一个边长为\(x\)的正方形的面积，那么假设正方形的边长增加了一个\(dx\)，面积的增加量应该为\(2x(dx)+dx^2\)，写成导数形式即为\(\frac{df}{dx}=2x+dx=2x\)

幂函数求导

对于任意幂函数\(f(x)=x^n\)，有\(f'(x)=nx^{n-1}\)

直观解释:

设\(f(x)=x^n\)，那么\(f(x+dx)=(x+dx)^n\)，展开后面会得到\(x^n+n(x^{n-1})dx+……\)

为什么后面我不写了？因为在求导的时候后面的项仍然会保留至少一个\(dx\)，会被忽略掉

而\(x^n\)会被减掉，所以\(f'(x)=nx^{n-1}\)

组合函数求导

函数相加

\(\frac{d}{dx}(g(x)+h(x))=\frac{dg}{dx}+\frac{dh}{dx}\)

证明：

\(\frac{d}{dx}(g(x)+h(x))=\frac{g(x+dx)-g(x)+h(x+dx)-h(x)}{dx}=\frac{g(x+dx)-g(x)}{dx}+\frac{h(x+dx)-h(x)}{dx}=\frac{dg}{dx}+\frac{dh}{dx}\)

函数乘积

举个例子：\(f(x)=sin(x)x^2\)

这东西代数上不好看，我们考虑用几何求导

\(f(x)\)表示的几何意义即为边长为\(sin(x)\)和\(x^2\)的矩形的面积

仍然考虑一点微小的变化\(dx\)

矩形面积将改变

\(sin(x)*((x+dx)^2-x^2) + x^2*(sin(x+dx)-sin(x)) + ((x+dx)^2-x^2)*(sin(x+dx)-sin(x))\)

容易发现最后这一项与\(dx^2\)成正比，忽略掉

那么\(df=sin(x)d(x^2)+x^2d(sin(x))\)

把后面的改变量计算出来得

\(df=sin(x)2xdx+x^2cos(x)dx\)

\(\frac{df}{dx}=sin(x)2x+x^2cos(x)\)

仔细观察我们可以得出一个更一般的结论

\(f(x)=g(x)h(x)\)

\(f'(x)=g(x)h'(x)+h(x)g'(x)\)

我们称之为左乘右导，右乘左导

复合函数

一般可以写成\(g(h(x))\)

例如\(g(x)=sin(x),h(x)=x^2\)，则\(g(h(x))=sin(x^2)\)

对于复合函数我们需要一步一步分析

先考虑一个\(dx\)对最内层\(h(x)\)的影响，这个我们应该很熟悉，我们会得到一个\(dh\)，再用\(dh\)改变\(g(x)\)，但是我们展开的过程应该是从外向内展开

就以上面的函数为例，当我们取\(dx\)时，\(d(sin(x^2))=cos(x^2)d(x^2)=cos(x^2)2xdx\)

归纳一个更一般的结论:\(\frac{d}{dx}g(h(x))=\frac{dg}{dh}(h(x))\frac{dh}{dx}(x)\)

注意等式右边的第一项分母是\(dh\)而不是\(dx\)，因为它的内层函数的变化量

这个结论叫做链式法则

只要一直套用上面的形式，链式法则可以无限长，如果你有耐心解

指数函数求导

我们来看一个常见的指数函数\(f(x)=2^x\)

无脑地用\(dx\)求导：\(f'(x)=2^x\frac{2^{dx}-1}{dx}\)

当\(dx\)无限逼近于\(0\)时，可以得到后面这一项约等于\(0.6931……\)

我们发现指数函数的导数就是它本身乘以了一个奇怪的常数，虽然我们也不知道这个常数是怎么来的

如果我们多实验几个，会发现\(f(x)=8^x\)时，\(f'(x)≈8^x*(2.0794……)\)

如果你细心可能会发现\(8=2^3,0.2794≈3*0.6931\)

为啥？凭啥？

我们先放在一边，这个时候我们应该有一个全新的疑惑：有没有一个数的指数函数令这个常数等于\(1\)？

当然有，它就是\(e\)，对于\(f(x)=e^x,f'(x)=e^x\)

为什么，是巧合吗？

因为这本身就是人家的定义啊……

通过\(e\)，也许我们能解决那些迷之常数和\(2,8\)之间迷之倍数的关系

如果\(f(x)=e^{ct}\)，根据链式法则\(f'(x)=ce^{ct}\)

那么\(2^x=(e^{ln(2)})^x=e^{ln(2)x}\)，其导数为\(ln(2)e^{ln(2)x}=ln(2)2^x\)

同理\(f(x)=8^x,f'(x)=ln(8)8^x\)

根据初中姿势：\(ln(8)=3ln(2)\)

就都可以解释辣

隐函数求导

这玩意真**玄学啊……

隐函数

一般来说我们初中学的函数定义是：给定一个\(x\)，能唯一确定一个\(y\)值的变换法则

但是我们学到的有些东西显然不满足这个性质，比如圆的方程

但是它们好像又很特殊，不同与一般的变换

如果一个变换在它的定义域上存在一个子集\(D\)，使得每个\(x\in D\)，存在相应的\(y\)使得\(F(x,y)=0\)，则称方程确定了一个隐函数

显然圆的方程确定了一个隐函数

那么比如说我们有\(x^2+y^2=3^2\)，我们怎么求出一个圆上某一点的斜率\(\frac{dy}{dx}\)？

当然我们可以大力化式子：

\(y=\sqrt{3^2-x^2}\)

然后无脑链式法则

不过还可以稍微变化一下思路，考虑将\(x^2\)写作\(x(\theta)^2,y^2\)写作\(y(\theta)^2\)，然后对两边分别求导

\(2x(\theta)\frac{dx}{d\theta}+2y(\theta)\frac{dy}{d\theta}=0\)

我们对两边分别乘以\(d\theta\)得到

\(2xdx+2ydy=0\)

化简得\(\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\)

感觉这玩意\(OI\)中不会再拓展了，溜了溜了

极限

导数的正式定义

我们一般考虑导数时的操作是：选一个极小量\(dx\)，然后计算\(\frac{df}{dx}\)

实际上，当\(dx\)无限逼近\(0\)时它才是真正的导数

写作\(\frac{df}{dx}=\lim\limits_{h→0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)

这里右边不用\(dx\)是因为在极限中一般不含带\(d\)的字母，我们认为\(d\)内置了极限的思想

右边这个形式就是导数的正式定义

\(upd：\)这里的\(h\)应该看作一个有限小的变化量，而非无穷小，我们只需要考虑它逼近于\(0\)的情况

极限的ε-δ定义

考虑一个函数\(f(x)=\frac{(2+x)^3-2^3}{x}\)

我们可以发现这个函数的定义域并不连续，当\(x=0\)的时候，函数变为了\(\frac{0}{0}\)

但是当\(x\)无限逼近于\(0\)的时候，它仍然是有定义的，这个比值的极限是\(12\)

那有人会发问：这个逼近到底是什么意思？

可以发现在上面的曲线中，对于\(x=0\)附近的点，它们的取值都在\(12\)附近，而且不断缩小\(x\)的取值范围，函数值的范围越来越逼近\(12\)，且这个范围可以无限小

反例：

这个函数在\(x=0\)的时候同样没有定义

但是在\(x\)逼近于\(0\)的时候，它的取值不确定，也许是\(2\)，也许是\(-2\)，我们称它极限不存在

这就是极限的\(ε-δ\)定义

我们用\(δ\)表示自变量取值的范围，\(ε\)表示函数在值域上的范围，这段距离可以无限小

极限存在的前提就是：总能在极限点附近某一\(δ\)范围内找到一系列取值点使得范围内任意取值点都处在某一数值的\(ε\)范围之内，且这种情况对任意\(ε\)成立

如第二张图中，若我们取\(ε\)为\(1\)，则不存在\(δ\)满足要求

洛必达法则

对于某个极限点，我们知道直接代入这个点会得到\(\frac{0}{0}\)，如果我们要确定这个极限点的取值该怎么办？

我们假设某个函数为\(f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}\)，它存在某个点\(a\)使得\(g(a)=0,h(a)=0\)

我们可以考虑，用导数的反求极限

我们把\(g(x)\)和\(h(x)\)分开了考虑，则这两个函数在\(a\)点处的取值都为\(0\)

那么也就是说，在\(a\)点附近很小的一段区域内，函数的导数乘以变化量就约等于函数的取值

即\(g(a+dx)=\frac{dg}{dx}(a)dx\)，当\(dx\)约逼近于\(0\)取值越精准

则\(\lim\limits_{x→a}\frac{g(a)}{h(a)}=\frac{\frac{dg}{dx}(a)dx}{\frac{dh}{dx}(a)dx}\)

消掉\(dx\)得到

\(\lim\limits_{x→a}f(a)=\frac{\frac{dg}{dx}(a)}{\frac{dh}{dx}(a)}\)

这个叫做洛必达法则

简单说，如果\(g(a)=0,h(a)=0\)，那么\(\lim\limits_{x→a}\frac{g(x)}{h(x)}=\lim\limits_{x→a}\frac{g'(x)}{h'(x)}\)

\(ps：\)洛必达法则是洛必达向伯努利买来的

积分

积分

我们仍然考虑一个开车小汽车的问题：

给定小汽车的时间-速度函数\(v(t)\)，如何求出小汽车的时间-位移函数\(s(t)\)？

其实我们问题就是求，什么函数的导数为\(v(t)\)

这类问题通常被称为求函数的原函数（反导数）

对于求曲线下面积的问题，通常手法是将曲线分解成许多个宽度极小的矩形，然后求这些矩阵面积的和

矩形的宽度越小，答案越精准，当宽度无限逼近于\(0\)时，得到的结果就是正确答案

我们用\(\int_{x}^{y}\)来表示\([x,y]\)区间内所有点表达式的和

如果要求\(T\)时刻内汽车走过的距离，我们可以写成 \(\int_{0}^{T}v(t)dt\)，我们称之为\(v(t)\)的积分

为什么我们不用\(\sum\)呢？因为我们所表达的意思不是实际上的加和，而是\(dt\)在趋近于\(0\)时，加和趋近于的值

微积分基本定理

在解积分是过程中，我们可以通过导数来推出原函数，但是并不能推出原函数的常数

如果你想问咋求原函数的其他项：靠猜

因为常数项求导之后会消失

其实我们求一段面积没必要知道常数项具体是多少

仍然拿上面的小车举例子，有\(\int_{x}^{y}v(t)dt=s(y)-s(x)\)

常数项自然会被抵消掉

\(\int_{x}^{y}f(x)dx=F(x)-F(y)\)被称作微积分基本定理

泰勒级数

泰勒级数

如果一个函数\(f(x)\)在\(x=x_0\)处具有任意阶导数

则\(f(x)\)在点\(x_0\)处的泰勒级数为\(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\)

同时这也是函数在\(x_0\)处的最佳近似多项式

泰勒级数收敛到\(f(x_0)\)，泰勒级数能让多项式和收敛的最大范围叫做泰勒级数的收敛半径

颓了，不想解释泰勒级数了，就说一句吧：

每增加一项，就会让\(x0\)点附近的曲线变化率更接近原函数