微积分入门

不会这东西啥也学不动啊……

前言#

懒得像线代写那么详细了，这这篇确保自己几个重要公式和定义掌握了

符号定义：$d$+某个变量表示某个变量的极小的一点变化

$upd$:终于不用当做观影总结啦！留个坑，过两天把秦神课件上的内容补上

导数#

导数形式#

对于任意函数$f(x)$，它的导数$f'(x)$为$\frac{df(x)}{dx}=\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}$

导数定义#

导数在有些人的理解中可能会被概括为：某个函数的瞬时变化率

这个概括的确可以帮助人理解，但是瞬时有变化吗？这显然是矛盾的

那么导数究竟是什么？

我们考虑一个实际例子：汽车在行驶过程中的测速仪是如何测出当前时刻的速度的？

测速仪会显示出汽车在很短的时间内移动的距离，再除以这段很短的时间，将得到的答案近似为当前时间的速度

对测速仪来说，它绕开瞬时变化率，转而研究很短一段时间内的变化率解决了这个问题

回到导数上来，我们对汽车建立一个数学模型：$s(t)$为汽车$t$时刻内走过的位移

那么$s(t)$的导数可以表示为$\frac{ds}{dt}(t)$，即穿过这条函数上$s(t)$和$s(t+dt)$两点直线的斜率

当$dt$越来越趋近于$0$，那么这两个也越来越近，直线越来越逼近在$t$点时图像的切线

所以导数在数学上的含义是：经过图像上某一点的切线

但是瞬时变化率是没有意义的，我们应该把导数的实际含义看作“某一点附近的变化率的最佳近似”

这段貌似有点矫情，不理解也不妨碍看下面的内容或者做题

代数求导#

考虑对$f(x)=x^3$求导数

$f'(x)=\frac{df(x)}{dx}=\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}=\frac{(x+dx)^3-x^3}{dx}=\frac{x^3+3x^2(dx)+3x(dx^{2})+dx^3-x^3}{dx}=\frac{3x^2(dx)+3x(dx^{2})+dx^3}{dx}=3x^2+3x(dx)+dx^2$

当$dx$逼近$0$时，含$dx$的项可以忽略，所以最终$f'(x)=3x^2$

几何求导#

我们可以把$f(x)=x^2$看作求一个边长为$x$的正方形的面积，那么假设正方形的边长增加了一个$dx$，面积的增加量应该为$2x(dx)+dx^2$，写成导数形式即为$\frac{df}{dx}=2x+dx=2x$

幂函数求导#

对于任意幂函数$f(x)=x^n$，有$f'(x)=nx^{n-1}$

直观解释:

设$f(x)=x^n$，那么$f(x+dx)=(x+dx)^n$，展开后面会得到$x^n+n(x^{n-1})dx+……$

为什么后面我不写了？因为在求导的时候后面的项仍然会保留至少一个$dx$，会被忽略掉

而$x^n$会被减掉，所以$f'(x)=nx^{n-1}$

组合函数求导#

函数相加#

$\frac{d}{dx}(g(x)+h(x))=\frac{dg}{dx}+\frac{dh}{dx}$

证明：

$\frac{d}{dx}(g(x)+h(x))=\frac{g(x+dx)-g(x)+h(x+dx)-h(x)}{dx}=\frac{g(x+dx)-g(x)}{dx}+\frac{h(x+dx)-h(x)}{dx}=\frac{dg}{dx}+\frac{dh}{dx}$

函数乘积#

举个例子：$f(x)=sin(x)x^2$

这东西代数上不好看，我们考虑用几何求导

$f(x)$表示的几何意义即为边长为$sin(x)$和$x^2$的矩形的面积

仍然考虑一点微小的变化$dx$

矩形面积将改变

$sin(x)*((x+dx)^2-x^2) + x^2*(sin(x+dx)-sin(x)) + ((x+dx)^2-x^2)*(sin(x+dx)-sin(x))$

容易发现最后这一项与$dx^2$成正比，忽略掉

那么$df=sin(x)d(x^2)+x^2d(sin(x))$

把后面的改变量计算出来得

$df=sin(x)2xdx+x^2cos(x)dx$

$\frac{df}{dx}=sin(x)2x+x^2cos(x)$

仔细观察我们可以得出一个更一般的结论

$f(x)=g(x)h(x)$

$f'(x)=g(x)h'(x)+h(x)g'(x)$

我们称之为左乘右导，右乘左导

复合函数#

一般可以写成$g(h(x))$

例如$g(x)=sin(x),h(x)=x^2$，则$g(h(x))=sin(x^2)$

对于复合函数我们需要一步一步分析

先考虑一个$dx$对最内层$h(x)$的影响，这个我们应该很熟悉，我们会得到一个$dh$，再用$dh$改变$g(x)$，但是我们展开的过程应该是从外向内展开

就以上面的函数为例，当我们取$dx$时，$d(sin(x^2))=cos(x^2)d(x^2)=cos(x^2)2xdx$

归纳一个更一般的结论:$\frac{d}{dx}g(h(x))=\frac{dg}{dh}(h(x))\frac{dh}{dx}(x)$

注意等式右边的第一项分母是$dh$而不是$dx$，因为它的内层函数的变化量

这个结论叫做链式法则

只要一直套用上面的形式，链式法则可以无限长，如果你有耐心解

指数函数求导#

我们来看一个常见的指数函数$f(x)=2^x$

无脑地用$dx$求导：$f'(x)=2^x\frac{2^{dx}-1}{dx}$

当$dx$无限逼近于$0$时，可以得到后面这一项约等于$0.6931……$

我们发现指数函数的导数就是它本身乘以了一个奇怪的常数，虽然我们也不知道这个常数是怎么来的

如果我们多实验几个，会发现$f(x)=8^x$时，$f'(x)≈8^x*(2.0794……)$

如果你细心可能会发现$8=2^3,0.2794≈3*0.6931$

为啥？凭啥？

我们先放在一边，这个时候我们应该有一个全新的疑惑：有没有一个数的指数函数令这个常数等于$1$？

当然有，它就是$e$，对于$f(x)=e^x,f'(x)=e^x$

为什么，是巧合吗？

因为这本身就是人家的定义啊……

通过$e$，也许我们能解决那些迷之常数和$2,8$之间迷之倍数的关系

如果$f(x)=e^{ct}$，根据链式法则$f'(x)=ce^{ct}$

那么$2^x=(e^{ln(2)})^x=e^{ln(2)x}$，其导数为$ln(2)e^{ln(2)x}=ln(2)2^x$

同理$f(x)=8^x,f'(x)=ln(8)8^x$

根据初中姿势：$ln(8)=3ln(2)$

就都可以解释辣

隐函数求导#

这玩意真**玄学啊……

隐函数#

一般来说我们初中学的函数定义是：给定一个$x$，能唯一确定一个$y$值的变换法则

但是我们学到的有些东西显然不满足这个性质，比如圆的方程

但是它们好像又很特殊，不同与一般的变换

如果一个变换在它的定义域上存在一个子集$D$，使得每个$x\in D$，存在相应的$y$使得$F(x,y)=0$，则称方程确定了一个隐函数

显然圆的方程确定了一个隐函数

那么比如说我们有$x^2+y^2=3^2$，我们怎么求出一个圆上某一点的斜率$\frac{dy}{dx}$？

当然我们可以大力化式子：

$y=\sqrt{3^2-x^2}$

然后无脑链式法则

不过还可以稍微变化一下思路，考虑将$x^2$写作$x(\theta)^2,y^2$写作$y(\theta)^2$，然后对两边分别求导

$2x(\theta)\frac{dx}{d\theta}+2y(\theta)\frac{dy}{d\theta}=0$

我们对两边分别乘以$d\theta$得到

$2xdx+2ydy=0$

化简得$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$

感觉这玩意$OI$中不会再拓展了，溜了溜了

极限#

导数的正式定义#

我们一般考虑导数时的操作是：选一个极小量$dx$，然后计算$\frac{df}{dx}$

实际上，当$dx$无限逼近$0$时它才是真正的导数

写作$\frac{df}{dx}=\lim\limits_{h→0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

这里右边不用$dx$是因为在极限中一般不含带$d$的字母，我们认为$d$内置了极限的思想

右边这个形式就是导数的正式定义

$upd：$这里的$h$应该看作一个有限小的变化量，而非无穷小，我们只需要考虑它逼近于$0$的情况

极限的ε-δ定义#

考虑一个函数$f(x)=\frac{(2+x)^3-2^3}{x}$

我们可以发现这个函数的定义域并不连续，当$x=0$的时候，函数变为了$\frac{0}{0}$

但是当$x$无限逼近于$0$的时候，它仍然是有定义的，这个比值的极限是$12$

那有人会发问：这个逼近到底是什么意思？

可以发现在上面的曲线中，对于$x=0$附近的点，它们的取值都在$12$附近，而且不断缩小$x$的取值范围，函数值的范围越来越逼近$12$，且这个范围可以无限小

反例：

这个函数在$x=0$的时候同样没有定义

但是在$x$逼近于$0$的时候，它的取值不确定，也许是$2$，也许是$-2$，我们称它极限不存在

这就是极限的$ε-δ$定义

我们用$δ$表示自变量取值的范围，$ε$表示函数在值域上的范围，这段距离可以无限小

极限存在的前提就是：总能在极限点附近某一$δ$范围内找到一系列取值点使得范围内任意取值点都处在某一数值的$ε$范围之内，且这种情况对任意$ε$成立

如第二张图中，若我们取$ε$为$1$，则不存在$δ$满足要求

洛必达法则#

对于某个极限点，我们知道直接代入这个点会得到$\frac{0}{0}$，如果我们要确定这个极限点的取值该怎么办？

我们假设某个函数为$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$，它存在某个点$a$使得$g(a)=0,h(a)=0$

我们可以考虑，用导数的反求极限

我们把$g(x)$和$h(x)$分开了考虑，则这两个函数在$a$点处的取值都为$0$

那么也就是说，在$a$点附近很小的一段区域内，函数的导数乘以变化量就约等于函数的取值

即$g(a+dx)=\frac{dg}{dx}(a)dx$，当$dx$约逼近于$0$取值越精准

则$\lim\limits_{x→a}\frac{g(a)}{h(a)}=\frac{\frac{dg}{dx}(a)dx}{\frac{dh}{dx}(a)dx}$

消掉$dx$得到

$\lim\limits_{x→a}f(a)=\frac{\frac{dg}{dx}(a)}{\frac{dh}{dx}(a)}$

这个叫做洛必达法则

简单说，如果$g(a)=0,h(a)=0$，那么$\lim\limits_{x→a}\frac{g(x)}{h(x)}=\lim\limits_{x→a}\frac{g'(x)}{h'(x)}$

$ps：$洛必达法则是洛必达向伯努利买来的

积分#

积分#

我们仍然考虑一个开车小汽车的问题：

给定小汽车的时间-速度函数$v(t)$，如何求出小汽车的时间-位移函数$s(t)$？

其实我们问题就是求，什么函数的导数为$v(t)$

这类问题通常被称为求函数的原函数（反导数）

对于求曲线下面积的问题，通常手法是将曲线分解成许多个宽度极小的矩形，然后求这些矩阵面积的和

矩形的宽度越小，答案越精准，当宽度无限逼近于$0$时，得到的结果就是正确答案

我们用$\int_{x}^{y}$来表示$[x,y]$区间内所有点表达式的和

如果要求$T$时刻内汽车走过的距离，我们可以写成 $\int_{0}^{T}v(t)dt$，我们称之为$v(t)$的积分

为什么我们不用$\sum$呢？因为我们所表达的意思不是实际上的加和，而是$dt$在趋近于$0$时，加和趋近于的值

微积分基本定理#

在解积分是过程中，我们可以通过导数来推出原函数，但是并不能推出原函数的常数

如果你想问咋求原函数的其他项：靠猜

因为常数项求导之后会消失

其实我们求一段面积没必要知道常数项具体是多少

仍然拿上面的小车举例子，有$\int_{x}^{y}v(t)dt=s(y)-s(x)$

常数项自然会被抵消掉

$\int_{x}^{y}f(x)dx=F(x)-F(y)$被称作微积分基本定理

泰勒级数#

泰勒级数#

如果一个函数$f(x)$在$x=x_0$处具有任意阶导数

则$f(x)$在点$x_0$处的泰勒级数为$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$

同时这也是函数在$x_0$处的最佳近似多项式

泰勒级数收敛到$f(x_0)$，泰勒级数能让多项式和收敛的最大范围叫做泰勒级数的收敛半径

颓了，不想解释泰勒级数了，就说一句吧：

每增加一项，就会让$x0$点附近的曲线变化率更接近原函数