二分图全家桶
定义
顶点可以分成\(A,B\)两个集合，每条边的两个顶点分别位于\(A,B\)集合中的图
以该图为例，标记黄色顶点属于集合\(A\)，灰色顶点属于集合\(B\)，则所有边的两个顶点分属于\(A,B\)集合，该图是一张二分图
二分图中不含奇环（不含奇环的图都是二分图）
判定
黑白染色：用\(DFS\)对原图的顶点进行染色，若某一点为黑色，则与其相邻的点全部染为白色，如果染色过程中不出现矛盾，则原图是二分图
证明：黑白染色过程中出现矛盾，当且仅当图中存在奇环
常见二分图模型
相邻两点冲突
这类题目有些图论模型是需要自己建立的
洛谷P3430 [POI2005]DWU-Double-row
棋盘问题
棋盘通常可以黑白染色
二分图相关问题
二分图最大匹配
匹配：
任意两条边都没有公共点的一个边的集合称为二分图的一个匹配
交错路：
对于原图中的一条路径，存在奇数条边属于匹配，偶数条边不属于匹配，或相反的情况，那么这条路径被称为交错路
增广路：
对于图中任意一个匹配，如果原图存在一条长度为奇数的路径，满足路径的第奇数条边不属于该匹配，第偶数条边属于该匹配，那么这条路径被称为增广路
最大匹配：
边数最多的匹配 （不存在增广路的匹配）
如图，加粗的黑边即是二分图的一个最大匹配
匈牙利算法：
二分图中常见的寻找最大匹配的算法
其本质是贪心的从每个左部节点（\(A\)集合节点）寻找增广路的过程
依次考虑每个左部节点，找到一个右部节点与其匹配
一个右部节点能与其匹配，必须满足一下两个条件之一：
\(1.\)该节点尚未与其他左部节点匹配
\(2.\)从该右部节点匹配的左部节点出发，寻找新的尚未标记的右部节点与其匹配
条件一不用多解释，可以发现条件二就是在寻找增广路
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```cpp
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
namespace red{
#define eps (1e-8)
inline int read()
{
int x=0;char ch,f=1;
for(ch=getchar();(ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-';ch=getchar());
if(ch=='-') f=0,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
return f?x:-x;
}
const int N=1010;
int n,m,e,ret,tim;
int vis[N<<1],f[N<<1];
int head[N],cnt;
struct point
{
int nxt,to;
point(){}
point(const int &nxt,const int &to):nxt(nxt),to(to){}
}a[N*N];
inline void link(int x,int y)
{
a[++cnt]=(point){head[x],y};head[x]=cnt;
}
inline bool find(int x)
{
for(int i=head[x];i;i=a[i].nxt)
{
int t=a[i].to;
if(vis[t]==tim) continue;
vis[t]=tim;
if(!f[t]||find(f[t]))
{
f[t]=x;
return 1;
}
}
return 0;
}
inline void main()
{
n=read(),m=read(),e=read();
for(int x,y,i=1;i<=e;++i)
{
x=read(),y=read();
if(x>n||y>m) continue;
link(x,y+n);
}
for(int i=1;i<=n;++i)
{
++tim;
ret+=find(i);
}
printf("%d\n",ret);
}
}
signed main()
{
red::main();
return 0;
}
```
例题：
二分图最小点覆盖
图的覆盖：
满足每一条边都有至少一个点在其中的点集，叫做图的覆盖
最小覆盖：
包含点数最少的覆盖
最小覆盖=最大匹配（数值上）
构造：
先求出最大匹配，然后从右部节点的每一个未匹配点寻找交错路，并标记访问过的节点
则左部标记节点和右部未标记节点构成一组最小覆盖
证明：
最小性：
右侧所有未匹配点都被标记，左侧所有未匹配点都未被标记，所以所有覆盖都从匹配点中选择
对于某一联通子图，左部匹配点被选择后，右侧一定不被选择，右侧匹配点被选择后左侧一定不被选择，所以最小覆盖=最大匹配
合法性：
一对匹配点一定同时被标记或未被标记，所以所有匹配边一定被覆盖
连接左部匹配点和右部非匹配点的边会被左部覆盖
连接右部匹配点和左部非匹配点的边会被右部覆盖
最大匹配中不存在连接一对非匹配点的边
所以合法性成立
例题：
二分图最大独立集
图的独立集：
任意两点在图中没有边相连的点集
二分图最大独立集
点数最多的二分图的独立集
二分图最大独立集=图的点数-二分图最大匹配
可以理解为图中所有点减去最少的点令剩下的点没有边相连，也就是用最少的点覆盖所有的边，即最小点覆盖
例题：
二分图最小路径覆盖
最小路径覆盖：
用尽量少的不相交的简单路径覆盖有向无环图的所有节点
最小路径覆盖=节点数-最大匹配
构造：
把原图中每个点拆成二分图中左右两个点，对于每条有向边\((u,v)\)，从\(u\)的左部点向\(v\)的右部点连一条有向边，然后求最大匹配，用节点数减去
证明：
在边数\(=0\)时，显然需要节点数条路径
那么对于每成功匹配二分图中的一对节点，代表某两个点可以通过一条路径连接，使路径覆盖数\(-1\)
而最小路径覆盖中要求满足每个点入度和出读不超过\(1\)，满足二分图最大匹配中的匹配边没有公共端点
所以最小路径覆盖条数=节点数-最大匹配。
例题：
可重叠最小路径覆盖
考虑一条交叉路径\(u-v-w\)和\(x-v-y\)，这里\(v\)被两条路径覆盖了
如果我们添加一条边\(x-y\)，那么相当与\(u-v-w\)和\(x-y\)的不可重叠最小路径覆盖
这个东西我好像在考场上口胡过然后爆零了ddd
如果我们把所有可以达到的点之间连一条边，就可以解决可重叠最小路径覆盖问题
传递闭包我们可以选择floyd解决
可重叠最小路径覆盖=floyd传递闭包+不可重叠最小路径覆盖
二分图最优匹配
最优匹配：
二分图每条边都有权值，权值和最大的匹配称为二分图最优匹配
完美匹配：
左部或者右部点集中所有点都被匹配
顶标：
给每个节点一个标号，记左部节点为\(a_i\)，右部节点为\(b_i\)，称为顶标，对于二分图任意一条边\((u,v)\)，满足\(a_u+b_v\ge val(u,v)\)
相等子图：
二分图中所有满足\(a_u+b_v=val(u,v)\)构成的子图
性质：
相等子图的完美匹配就是二分图的最优匹配
对于二分图的任意一个匹配，如果它属于相等子图，那么其边权和等于节点顶标和
如果它不属于相等子图，那么其边权和\le 节点顶标和
因此相等子图的完美匹配就是二分图最优匹配
KM算法
放到模板题目里面讲UOJ80
例题
好像大部分都可以用费用流莽的样子……
稳定婚姻问题
有\(n\)个男生和\(n\)个女生要组成\(n\)对配偶，每个男生按照喜欢程度给女生排序，女生按照喜欢程度给男生排序
如果存在两对配偶\((A,a)\)和\((B,b)\)，\(A\)对\(b\)的喜欢程度比\(a\)高，\(b\)对\(A\)的喜欢程度比\(B\)高，那么称这个婚姻系统是不稳定的
如何求一个稳定的完美匹配？
延时认可算法
初始时刻所有男生都处于未匹配状态
对于每个未匹配的男生，在所有未拒绝过他的女生里面选择他最喜欢的一个作为匹配
每个女生在所有选择他的男生里面选择最喜欢的一个作为匹配（如果以前有匹配可以绿掉，让以前的匹配变成未匹配状态）
直到所有男生找到妹子
HDU1522 板子懒得放了
大概结束了吧，这里的例题都偏入门然而作者太菜了也写不动难题
