算法 - 随笔分类 - lovelyred

摘要：【模板】2-SAT 问题

k - S A T

$k-SAT$ 问题

(k \geq 3)

$(k\geq 3)$ 是

N P

$NP$ 难题。一个条件形如

x_{i}

$x_i$ 为

a

$a$ 或

x_{j}

$x_j$ 为

b

$b$ 如何表示一个状态必须选？添加条件：

x_{i}

$x_i$ 为

a

$a$ 或

x_{i}

$x_i$ 为

a

$a$ 则表示，

x_{j}

$x_j$ 为

\sim b

$\sim b$ 时，

x_{i}

$x_i$ 一定为

a

$a$ 。

x_{i}

$x_i$ 为$\sim 阅读全文

posted @ 2022-04-18 16:49 lovelyred 阅读(46) 评论(0) 推荐(0) 编辑

「数学」计算几何

摘要：计算几何基础知识点积

a \cdot b = a . x b . x + a . y b . y

$a·b=a.xb.x+a.yb.y$

a

$a$ 在

b

$b$ 上的投影乘以

b

$b$ 的模长叉积

a \times b = a . x b . y - a . y b . x

$a×b=a.xb.y-a.yb.x$

a, b

$a,b$ 围成的平行四边形的有向面积直线与线段记录直线上一点和直线方向线段记录线段端点或记录线段起点和向量终点判断线段相交（快速排斥实验与阅读全文

posted @ 2021-10-25 10:32 lovelyred 阅读(235) 评论(0) 推荐(0) 编辑

「字符串」后缀数组

摘要：后缀数组 int x[N],y[N],c[N],sa[N],rk[N],h[N]; for(int i=1;i<=n;++i) ++c[x[i]=s[i]]; //c[i]是桶,x[i]是第i个元素的第一关键字排名 for(int i=2;i<=m;++i) c[i]+=c[i-1]; //求前缀和阅读全文

posted @ 2021-10-25 10:26 lovelyred 阅读(52) 评论(0) 推荐(0) 编辑

生成函数

摘要：定义序列

a

$a$ 的普通生成函数

(O G F)

$(OGF)$ ，定义为形式幂级数：

F (x) = \sum_{n} a_{n} x^{n}

$F(x)=\sum_{n}a_nx^n$

a

$a$ 既可以是有穷序列，也可以是无穷序列，常见例子：

1.

$1.$ 序列

a =< 1, 2, 3 >

$a=<1,2,3>$ 的

O G F

$OGF$ 是

1 + 2 x + 3 x^{2}

$1+2x+3x^2$

2.

$2.$ 序列

a =< 1, 1, 1, \dots >

$a=<1,1,1,…>$ 的

O G F

$OGF$ 是$\ 阅读全文

posted @ 2021-09-27 20:20 lovelyred 阅读(214) 评论(2) 推荐(0) 编辑

多项式乘法逆

摘要：多项式乘法逆给定

F (x)

$F(x)$ 求

G (x)

$G(x)$ 满足

G (x) F (x) \equiv 1 (m o d x^{n})

$G(x)F(x)\equiv 1\ (mod\ x^n)\$ 假设已知 $$ H(x)F(x)\equiv 1\ (mod\ x^{\lceil\frac{n}{2}\rceil})\ F(x)(G(x)-H(x))\equiv 0\ ( 阅读全文

posted @ 2021-09-27 20:19 lovelyred 阅读(48) 评论(0) 推荐(0) 编辑

多项式牛顿迭代

摘要：多项式牛顿迭代设

f (g (x)) \equiv 0 (m o d x^{n})

$f(g(x))\equiv 0 (mod\ x^n)$ 求出此模意义下的

g (x)

$g(x)$ 当

n = 1

$n=1$ 时，单独求出

[x^{0}] f (g (x))

$[x^0]f(g(x))$ 假设已经得到了模

x^{⌈ \frac{n}{2} ⌉}

$x^{\lceil\frac{n}{2}\rceil}$ 意义下的解

g_{0} (x)

$g_0(x)$ ，要求模

x^{n}

$x^{n}$ 意义下的阅读全文

posted @ 2021-09-27 20:18 lovelyred 阅读(36) 评论(0) 推荐(0) 编辑

「数学」快速幂

摘要：原理

a^{n} = \begin{matrix} \underset{⏟}{a a \dots a} n \end{matrix} a^{13} = a^{(1101)_{2}} = a^{8} a^{4} * a^{1}

$a^n=\begin{matrix} \underbrace{ aa…a } \ n \end{matrix}\ a^{13}=a^{(1101)_2}=a^8a^4*a^1$ 应用矩阵快速幂和多次置换计算斐波那契数列可以构建

2 * 2

$2*2$ 的转移矩阵从

F_{i}, F_{i + 1}

$F_i,F_{i+1}$ 到$F 阅读全文

posted @ 2021-09-22 21:58 lovelyred 阅读(76) 评论(0) 推荐(0) 编辑

「算法」贪心

摘要：证明方法

1.

$1.$ 反证法：交换当前状态下的两个元素后，答案不会变得更优，则当前状态已经是最优解

2.

$2.$ 归纳法：先证明边界

n = 1

$n=1$ 成立，再证明

F_{n}

$F_n$ 成立时

F_{n + 1}

$F_{n+1}$ 成立常见类型交换邻项排序贪心例题 [NOIP2012 提高组] 国王游戏设

p_{1}

$p_1$ 的参数为

a_{1}, b_{1}

$a_1,b_1$ ，阅读全文

posted @ 2021-09-22 16:57 lovelyred 阅读(42) 评论(0) 推荐(0) 编辑

「图论」树上问题

摘要：树的直径定义树上最长链（最远点对）求解解法一：贪心法任取一点作为起点，找到树上距离该点最远的点，记作

s t

$st$ ，以

s t

$st$ 为起点找到树上距离

s t

$st$ 最远的点，记作

e d

$ed$ ，

s t

$st$ 到

e d

$ed$ 即为直径优点：起点和终点方便获得缺点：不能处理负边权解法二：树

d p

$dp$ 任取一点作为根，记录每点阅读全文

posted @ 2021-09-01 19:06 lovelyred 阅读(173) 评论(0) 推荐(0) 编辑

兔队线段树

摘要：P4198 楼房重建维护两个信息，一个是区间最大值

m x [p] = m a x \frac{h_{i}}{i}

$mx[p]=max{\frac{h_i}{i}}$ ，一个是仅考虑当前区间影响的答案

a n s [p]

$ans[p]$ 合并时左区间答案可以直接合并，右区间答案需要计算左区间影响 $$ans[p]=ans[ls(p)]+calc(mid+1,r,rs(p),mx[l 阅读全文

posted @ 2021-08-29 18:05 lovelyred 阅读(539) 评论(0) 推荐(2) 编辑

「图论」连通性问题

摘要：强连通若一张有向图的节点两两相互可达，则称这张图是强连通的强连通分量

(S C C)

$(SCC)$ ：极大的强连通子图 DFS树对一个图任取一个节点，跑

D F S

$DFS$ 建出的树树边：每次搜索找到一个还没有访问过的节点的时候就形成了一条树边返祖边：也叫回边，指向祖先节点的边横插边，在搜索时遇到了一个已经访问过的节阅读全文

posted @ 2021-08-07 16:55 lovelyred 阅读(237) 评论(0) 推荐(0) 编辑

「数学」欧拉函数

摘要：定义

ϕ (n)

$\phi(n)$ 为小于等于

n

$n$ 且和

n

$n$ 互质的数的个数（包括

1

$1$ ) 通项

ϕ (n) = n * (1 - \frac{1}{p_{1}}) (1 - \frac{1}{p_{2}}) \dots \dots (1 - \frac{1}{p_{m}})

$\phi(n)=n*(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})……(1-\frac{1}{p_m})$ 其中

p_{1}, p_{2} \dots \dots p_{m}

$p_1,p_2……p_m$ 是

n

$n$ 的所有质因数

ϕ (1) = 1

$\phi(1)=1$ $ 阅读全文

posted @ 2021-08-03 23:06 lovelyred 阅读(216) 评论(0) 推荐(0) 编辑

「博弈论」王丙伦课程

摘要：视频链接热身题尝试寻找单次变化递推式，设第

i

$i$ 个圆为

X^{2} + Y^{2} = R^{2}

$X^2+Y^2=R^2$ ，在圆

i

$i$ 内随机选择一点

(x, y)

$(x,y)$

E (a^{2} + b^{2}) - > E ((a + x)^{2} + (b + y)^{2})

$E(a^2+b^2)->E((a+x)^2+(b+y)^2)$

= E (a^{2} + b^{2}) + E (x^{2} + y^{2}) + 2 a E (x) + 2 b E (y)

$=E(a^2+b^2)+E(x^2+y^2)+2aE(x)+2bE(y)$ $$E(x)=E(y) 阅读全文

posted @ 2021-08-03 16:53 lovelyred 阅读(251) 评论(0) 推荐(0) 编辑

「数学」线性筛素数

摘要：根号筛根据素数定义，一个数是素数当且仅当它只能被

1

$1$ 和它本身整除根据定义我们可以枚举

2 — n - 1

$2—n-1$ 中的每一个数判断是否能整除

n

$n$ 根据什么不知名的显然定理，若

a * b = n

$a*b=n$ ，且

a \leq b

$a≤b$ ，那么必定有

a \leq \sqrt{n}, b \geq \sqrt{n}

$a≤\sqrt{n},b≥\sqrt{n}$ 所以只需要枚举

2 — — \sqrt{n}

$2——\sqrt{n}$ 的数字阅读全文

posted @ 2021-08-01 10:26 lovelyred 阅读(119) 评论(0) 推荐(0) 编辑

「图论」欧拉路

摘要：定义通路：一条从

v_{i}

$v_i$ 到

v_{j}

$v_j$ 的不经过重复边的一条路经，长度为通路中边的个数回路：起点和终点相同的通路欧拉通路：经过图

G

$G$ 所有边一次的通路欧拉回路：经过图

G

$G$ 所有边一次的回路欧拉图（

E

$E$ 图）：具有欧拉回路的图半欧拉图：具有欧拉通路但不具有欧拉回路的图平凡图：只有一个节点的阅读全文

posted @ 2021-07-30 20:25 lovelyred 阅读(531) 评论(0) 推荐(0) 编辑

「数学」卡特兰数

摘要：洛谷P1044 [NOIP2003 普及组] 栈定义经典问题：出栈序列数由栈性质可得，某一时刻总操作的入栈数不能少于出栈数，若将入栈视为

+ 1

$+1$ ,出栈视为

- 1

$-1$ ，则任意时刻该序列前缀和不能小于零，且

+ 1

$+1$ 与

- 1

$-1$ 总数相等（均为

n

$n$ 个如何求序列方案数公式易得，不剔除非法序列的情况下阅读全文

posted @ 2021-07-14 12:24 lovelyred 阅读(87) 评论(0) 推荐(0) 编辑

最小割的数学形式

该文被密码保护。

posted @ 2019-12-27 11:40 lovelyred 阅读(2) 评论(0) 推荐(0) 编辑

二分图全家桶

摘要：定义顶点可以分成

A, B

$A,B$ 两个集合，每条边的两个顶点分别位于

A, B

$A,B$ 集合中的图以该图为例，标记黄色顶点属于集合

A

$A$ ，灰色顶点属于集合

B

$B$ ，则所有边的两个顶点分属于

A, B

$A,B$ 集合，该图是一张二分图二分图中不含奇环（不含奇环的图都是二分图）判定黑白染色：用

D F S

$DFS$ 对原图的顶点进行染色，阅读全文

posted @ 2019-12-23 22:02 lovelyred 阅读(252) 评论(0) 推荐(0) 编辑

快速数论变换（NTT）

摘要：你是我剧本外燃烧的太顽固的天真阅读全文

posted @ 2019-12-14 11:49 lovelyred 阅读(473) 评论(0) 推荐(0) 编辑

快速傅立叶变换（FFT）

摘要：你是我剧本中永恒的不苍老的情人阅读全文

posted @ 2019-12-13 15:56 lovelyred 阅读(1150) 评论(12) 推荐(1) 编辑

red

初相遇，是千山微雨，你是我人间朝夕

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