二分图匹配学习笔记
二分图的定义:##
二分图的顶点可以被分为两个点集,且相同点集内的顶点之间没有连边
二分图的判定:##
dfs整个图并对其进行染色,且只能染两种颜色,若与其相邻的顶点与其同色则不是二分图,否则继续dfs。
代码:###
//-------------------二分图判定代码:---------------------------//
int dfs(int u){ //染色为1或2
int flag=0;
for(register int v=1;v<=n;v++)
if(u!=v&&g[u][v]) { //如果u和v之间有连边
if(color[v]==0) { //如果v没有染色
color[v]=3-color[u]; //给v染色
flag=dfs(v); //继续dfs
if(!flag)return 0; //如果flag==0说明dfs的结果是非二分图
}
else if(color[u]==color[v]) return 0; //如果染了色且u和v同色则非二分图
}
return 1;
}
二分图的匹配:##
给定一个二分图G,M为G边集的一个子集且满足当中任意的两条边都依附于同一个顶点,则称M是G的一个匹配
在所有匹配中边数最多的称最大匹配
(简单来说就是在二分图里选一些边,让这些边没有公共顶点,从这个角度讲看起来有点像映射)
求二分图最大匹配:##
- 匈牙利算法
- 最大流
最大流就不介绍了因为笔者不会
这里主要介绍匈牙利算法
匈牙利算法:##
匈牙利算法的核心是找增广路。
增广路(或增广轨、交错路):若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径,且已匹配边和未匹配边在这条路径上交错出现,则称P是相对于当前匹配M的一条增广路
由增广路的定义,可以推出三个结论 :
- 结论1:P的路径长度(P内的边数)必定为奇数
证明:由于起点和终点都是未匹配点,所以第一条边和最后一条边一定都是未匹配边,而由定义可以知道匹配边和未匹配边在增广路上交错出现,所以P的路径长度一定为奇数,且未匹配边比匹配边数量多1 - 结论2:P经过取反操作可以得到一个更大的匹配M'
*取反:未匹配边->匹配边,匹配边->未匹配边
从结论1的证明知道未匹配边比匹配边数量证明多1,所以取反得到的匹配边数将比原匹配边数多1 - 结论3:M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路
反证,如果有的话还可以扩大匹配边数,M就不是G的最大匹配了
所以根据以上三条结论设计出匈牙利算法的流程:
匈牙利算法流程:###
- STEP 1 对于一个没有匹配的顶点u,遍历其每条边,如果这条边上的另一个顶点v还未匹配则说明找到了一个匹配,转STEP 4
- STEP 2 若v已经被匹配,则寻找v的匹配点w,对于w,再遍历其边,找一个未匹配顶点(即反复STEP 1,2 以寻找增广路)
- STEP 3 若在STEP1,2的反复过程中找到一条增广路,修改各自的匹配点并转STEP 4,若未找到增广路则退出
- STEP 4 匹配数++
形象来讲匈牙利算法就是一个找妹子和绿与被绿的过程有机会就上,没机会把原配挤掉也要上,只要你能给原配牵个新妹子
代码:###
我搜了一下,网上流传的大多是邻接矩阵下的匈牙利算法,但邻接矩阵效率较低(尤其在稀疏图上),且空间复杂度较高,所以这里提供一种邻接表的匈牙利算法,其本质是一样的。
//-------------------------匈牙利算法:--------------------------//
int find(int u){
for(register int i=first[u];i;i=nxt[i]) {
int v=to[i];
if(vis[v]) continue;
else {
vis[v]=true;
if(match[v]==-1||find(match[v])) { //如果v未被匹配或从v开始继续寻找找到了一条增广路
match[v]=u;
return 1;
}
}
}
return 0;
}
int hungary(){
for(register int i=1;i<=n;i++){
for(register int j=1;j<=n;j++)vis[j]=false;
ans+=find(i);
}
}
例题及后续拓展走这里:传送门