扩展欧几里得学习笔记

扩展欧几里得算法用于求解形如

$ ax+by=gcd(a,b) $

的方程(其中\(a\),\(b\)是常量且\(>=0\))
首先如果\(b=0\)，则显然有\(x=1\)，\(y=0\)满足上方程

然后如果\(b>0\)的话：
首先我们知道$ gcd(a,b) = gcd(b, a mod b ) $（欧几里得算法求两数gcd的原理）
设上面那个方程的通解为 \(x_0\) ， \(y_0\)
所以就有

$ a×x_0+b×y_0=gcd(a,b) $

那么

$ b×x_0+( a mod b )×y_0=gcd(b, a mod b )=gcd(a,b) $

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这里证明个小结论（神仙都是脑补吧……）
\(a mod b = a-b×[a/b]\)，其中[]表示取整
设\(a=k×b+m\)
\(a mod b=m\)
\([a/b]=k\)，
那么\(a-b×[a/b]=a-k×b=m=a mod b\)

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然后就有

$ b×x_0+( a mod b )×y_0=b×x_0+(a-b×[a/b])×y_0 $

展开，再整理能得到

\(a×y_0+b×(x_0-y_0×[a/b])\)

然后上面一长串式子连等下来可以得到

\(a×y_0+b×(x_0-y_0×[a/b])=gcd(b, a mod b )=gcd(a,b)=ax+by\)（最后=开始的）

观察等式两边得到

\(x=y_0\)，\(y=x_0-y_0×[a/b]\)

然后就可以根据上面过程开始递归了，注意判下边界\((b=0)\)

从lyd书上抄了个代码过来觉得好像理解得更透彻了一点……
所以说学习要勤抄代码（雾
代码我丢一下

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(b==0){
		x=1;y=0;return a;
	}
	int d=exgcd(b,a mod b,x,y);
	int z=x;x=y;y=z-y*(a/b);
	return d; 
}