斯特林数与斯特林反演

第二类斯特林数

定义：\(\begin{Bmatrix}i\\j\end{Bmatrix}\) 表示将 \(i\) 个元素放入 \(j\) 个不区分的盒子里的方案数。

递推：\(\begin{Bmatrix}i\\j\end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix}i-1\\j-1\end{Bmatrix} + j\begin{Bmatrix}i-1\\j\end{Bmatrix}\)

二项式反演推导：

首先有 \(m^n = \sum\limits_{i=0}^m\dbinom{m}{i}\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}i!\)

记 \(f(i) = i^n,g(i) = \begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}i!\)

则有： \(f(i) = \sum\limits_{j=0}^i\dbinom{i}{j}g(j)\)

那么有：

\[\begin{aligned}g(i) &= \sum\limits_{j=0}^i(-1)^{i-j}\dbinom{i}{j}f(j)\\&=i!\sum\limits_{j=0}^i\dfrac{(-1)^{i-j}}{(i-j)!} \dfrac{j^n}{j!}\end{aligned} \]

即 \(\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix} = \sum\limits_{j=0}^i\dfrac{(-1)^{i-j}}{(i-j)!} \dfrac{j^n}{j!}\)

求一行直接 \(ntt\) 卷起来可以做到 \(\mathrm{O(n \log n)}\)。

推论：

• \(\sum\limits_{i=1}^n i^k = \sum\limits_{j=0}^n\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}j!\dbinom{n+1}{j+1}\)

证明：

\(\sum\limits_{i=1}^n i^k = \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=0}^i\dbinom i j\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}j!\)

\(=\sum\limits_{j=0}^n\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}j!\sum\limits_{i=j}^n\dbinom i j\)

\(=\sum\limits_{j=0}^n\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}j!\dbinom{n+1}{j+1}\)

咕咕咕~