数论之费马大定理及勾股数

                 直角三角形a^2+b^2=c^2整数解的定a公式直求法 
                               庄  严 
                        （中国辽阳     111000） 

摘要：在直角三角形边长abc关系中，利用ab边条件求得第三边，这是人们的普遍做法。定a公式直求法的发现打破了人们的传统认识。利用定a公式直求法，在abc三边关系中，只要给定一个a值整数，就可求得另两边bc的整解关系。这种方法简单方便，易教易学，具有特殊的实用价值和理论义意。 
关键词  平方整数解公式直求法    增元求解法 
引言：a^2+b^2=c^2整数解性质，在2000多年前就已被发现。计算直角三角型形边长关系的勾股弦定理，体现了我国古代劳动人民的聪明智慧。近代有关费马大定理的的研究，也大多从a^2+b^2=c^2关系入手。 
  关于平方整数解的求法，古希腊数学家丢番图（Diophantna）给出的法则是√2ab为完全平方数时，可构造出a^2+b^2=c^2整解关系。这里的平方整数解受ab两个条件制约，而且这个理论也无法回答，当a为全体整数时，其a^2+b^2=c^2关系能否成立？现在利用定a公式直求法，只要一个a值条件，就可求得bc的整解关系。同时由公式直求法得出，当a为≥3的全体整数时，a^2+b^2=c^2 的整数解关系都成立。 
   一， 直角三角形a^2+b^2=c^2的a值奇偶数列法则： 
   定理1． 如a^2+b^2=c^2是直角三角形的三个整数边长，则必有如下a值的奇数列、偶数列关系成立； 
  （一） 直角三角形a^2+b^2=c^2奇数列a法则： 
   若a表为2n+1型奇数（n=1、2、3 …）， 则a为奇数列平方整数解的关系是： 
   a=2n+1 
{  b= n^2+（n+1）^2-1  
   c= n^2+（n+1）^2 
证：由勾股弦定理，若abc为直角三角形三边整数时必有a^2+b^2=c^2关系成立，现将奇数列a法则条件代入勾股弦定理得到下式： 
（2n+1）^2+（n^2+（n+1）^2-1）^2=（n^2+（n+1）^2）^2 
化简后得到： 
    4n^4+8n^3+8n^2+4n+1=4n^4+8n^3+8n^2+4n+1 
即等式关系成立； 
由法则条件分别取n=1、2、3 …  时得到了： 
  3^2+4^2=5^2 
  5^2+12^2=13^2 
  7^2+24^2=25^2 
  9^2+40^2=41^2  
  11^2+60^2=61^2 
  13^2+84^2=85^2         
   … 
                                         故得到奇数列a法则成立 
  （二） 直角三角形a^2+b^2=c^2的偶数列a法则： 
  若a表为2n型偶数（n=2、3、4…）， 则a为偶数列平方整数解的关系是： 
   a= 2n 
{  b= n^2 -1 
   c= n^2+1 
证：由勾股弦定理，若abc为直角三角形三边整数时必有a^2+b^2=c^2关系成立，现将偶数列a法则条件代入勾股弦定理得到下式： 
（2n）^2+（n^2-1）^2=（n^2+1）^2 
化简后得到： 
  n^4+2n^2+1=  n^4+2n^2+1 
即等式关系成立； 
（这里需要说明，当取n=1时，有b= n2 –1=1-1=0，此时失去三角形意义，故只能取n=2、3、4…） 
由法则条件分别取n=2、3、4 …  时得到了： 
   4^2+3^2=5^2 
   6^2+8^2=10^2 
   8^2+15^2=17^2 
   10^2+24^2=26^2  
   12^2+35^2=37^2 
   14^2+48^2=50^2      
   … 
                                        故得到偶数列a关系成立 
                                          故定理1关系成立 
由定理1得出，当a为≥3的全体整数时， a^2+b^2=c^2的整数解关系都成立。