压缩感知学习之初识压缩感知

　　压缩感知（Compressived Sensing）又叫压缩采样（Compressived Sample）或压缩传感，是近年来图像处理领域极为热门的研究方向。压缩感知的大意就是说 在采集信号（模拟到数字）的同时，完成对信号的压缩。下面就介绍一些压缩感知方面的概念，由于刚开始接触，难免有些理解上的偏差，希望读者不吝赐教。

　　压缩传感的理论指出，只要信号是可压缩的或者是稀疏的，那么就可以用一个满足一定条件的观测矩阵将变换所得的高维信号投影到一个低维空间，然后通过求解一个优化问题就可以从这些少量的投影中以高概率重建出原信号，这样的投影包含了原信号足够的信息。

　　压缩感知相对于传统的奈奎斯特采样定理——采样频率必须是信号最高频率的两倍及以上（要求信号是带限信号，通常用低通滤波器限制信号带宽），压缩感知是只采集信号的少量数据以还原出原始信号。压缩感知主要有三方面的内容：

　　（1）自然信号的稀疏表达；

　　（2）设计测量矩阵，在降低信号维度的同时还能保证信号的损失最小；

　　（3）信号恢复算法，从M个测量值中无失真（低失真）的恢复原始信号。

　　压缩感知的一般思路如下图：先对自然信号x进行稀疏表达，再利用观测矩阵Φ对真实信号进行观测从而得到测量值y,然后从已知条件（y，Φ）中重建出真实信号。

　　

1.信号的稀疏表达

　　那么怎么进行稀疏表达呢？一般的自然信号x都不是稀疏的，但是在某个变换域却是稀疏的，所以可以用表达式x=Ψθ来表示，θ为稀疏系数，Ψ为N*N的稀疏矩阵。举个简单的例子，这个信号在时域是密集型的，但在频域却是稀疏的。稀疏就是说所有的元素只有个别是非零的（或者说远大于0），大部分元素都为0（或者绝对值很小）。

也就是说当信号x在某个基Ψ上仅有 K<<N个非零系数或远大于零的系数θ时，称Ψ为信号x的稀疏基（稀疏矩阵）。我们需要做的就是合理地选择稀疏基，使得信号的稀疏系数个数尽可能少。

　　信号在某种表达方式下的稀疏性是压缩感知的理论基础。经典的稀疏化方法有离散余弦变换（DCT），傅里叶变换（FFT），离散小波变换（DWT）等。

2.测量矩阵

　　测量矩阵Φ对真实信号x进行观测，从而得到观测值y。表达式为：y=Φx ，Φ是一个M*N的矩阵（M<<N），对N*1的原信号观测后得到M*1的观测值，也就是说原信号x在测量矩阵Φ上投影得到新的信号表示y。

　　为了保证可以高概率地恢复出原信号，就要求测量矩阵Φ与稀疏矩阵Ψ的乘积满足RIP性质（有限等距性质），这个性质保证了原空间到稀疏空间的一一映射关系。RIP性质的等价条件就是测量矩阵Φ与稀疏矩阵Ψ不相关。测量值y是一个M维向量，这样就把信号从N维降到M维，测量矩阵要求在x到y的变换中，所测量的K个测量值不会破坏信号的信息以保证可以精确重构。

　　将上面的式子整合起来就是：y=Φx=ΦΨθ，令A=ΦΨ，A是一个M*N的传感矩阵。上式中，方程的个数远小于未知数的个数，方程无确定解，无法重构信号。但是，由于信号是K稀疏，若上式中的Φ满足有限等距性质(Restricted Isometry Property，简称RIP)，则K个系数就能够从M个测量值准确重构（得到一个最优解）。如果稀疏基和观测基不相关，则很大程度上保证了RIP性。CandeS和Tao等证明:独立同分布的高斯随机测量矩阵可以成为普适的压缩感知测量矩阵。则一般用随机高斯矩阵作为观测矩阵。目前常用的测量矩阵还有随机贝努利矩阵、部分正交矩阵、托普利兹和循环矩阵和稀疏随机矩阵等。

　　测量矩阵的图形表示：

 

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