我带着一把攻击力随机的武器去打怪。每次打出的伤害在[0,100]上均匀分布。如果打死某个怪平均需要的攻击次数恰为2次，则这个怪的血量是？

从某个Q群看到的题目，尝试解答，不知道有没有问题。

$$\text{给定归一化生命为}H，攻击次数为n，p_n为n次攻击之和的概率分布，则有期望：\\ \begin{aligned} E(n) & =\sum_{n=1}^{+\infty}n\int_0^Hp_{n-1}(A=H-t)p_1(A\geq t)dt \\ & =p_1(A\geq H)+\sum_{n=2}^{+\infty}n\int_0^H\frac{(H-t)^{n-2}}{(n-2)!}(1-t)dt \\ & =1-H+\sum_{n=2}^{+\infty}n\int_0^H\frac{(H-t)^{n-2}}{(n-2)!}[(H-t)+(1-H)]dt \\ & \begin{aligned} & =1-H+\sum_{n=2}^{+\infty}n\int_0^H\frac{(H-t)^{n-1}}{(n-2)!}dt+n(1-H)\int_0^H\frac{(H-t)^{n-2}}{(n-2)!}dt \end{aligned} \\ & =1-H+\sum_{n=2}^{+\infty}n\int_0^H\frac{t^{n-1}}{(n-2)!}dt+n(1-H)\int_0^H\frac{t^{n-2}}{(n-2)!}dt \\ & =1-H+\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{H^n}{(n-2)!}+(1-H)\frac{nH^{n-1}}{(n-1)!} \\ & =1-H+\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{(n-H)H^{n-1}}{(n-1)!} \\ & =1-H+H\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{H^n}{n!}+(1-H)\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{H^n}{n!} \\ & =1-H+H\cdot e^H+(1-H)(e^H-1) \\ & =e^{H} \end{aligned}$$