第13章 群

半群与含幺半群

半群与含幺半群

半群

• 半群与可交换半群：
  
• 含幺半群：
  
• 有限半群：若$S$是有限集，则$<S,*>$是有限半群，否则为无限半群
• 子半群：
  

群的满同态：设$f$是二元代数$<A,\circ>$到$<B,*>$的满同态，根据12章满同态的性质有

• 若$<A,\circ>$是半群，则$<B,*>$也是半群
• 若$<A,\circ>$是含幺半群，则$<B,*>$也是含幺半群

元素的幂

在半群$<S,*>$中，$*$运算满足结合律，若存在幺元$e$则规定$e=a^0$，此时对$\forall n,m\in N$有$a^n*a^m=a^{n+m},\;(a^n)^m=a^{nm}$（无幺元则是$n,m\in N^+$）

循环半群

循环半群

• 循环半群、生成元、生成集、循环含幺半群：
  
• 循环半群与可交换半群：
  • 每个循环半群都是可交换半群
  • 每个循环含幺半群都是可交换含幺半群
• $<\underline{n},+_n>$与循环半群：
  • $<\underline{n},+_n>$是循环含幺半群
  • $\forall a\in \underline{n}$，若$(a,n)=1$，则a是$<\underline{n},+_n>$的生成元
  • 当$n$是素数是，$\underline{n}$除幺元0以外，其它一切元素都是生成元
• 循环半群与幂等元：
  • 每个有限循环半群中，至少有一个幂等元存在
  • 每个有限半群中，至少有一个幂等元存在（有限半群必存在有限循环子半群）

例题

*一些思考

对于不含幺元的有限循环半群$<S,*>$，$|S|=n$，$a$是其中的一个生成元，则有：

• $n\geq 2$且$a$是唯一的生成元，$S=\{a^1,a^2,...,a^n\}$（即$a^1,a^2,...,a^n$互不相同），$a^{n+1}\neq a$

证明：

• $n\geq 2$：若$n=1$，则该生成元是幺元，矛盾
• $a^1,a^2,...,a^{n}$互不相同：假设其中两个相等，那么$a$的幂运算会一直在这之间循环，此时$a$生成不了全部元素，矛盾
• $a^{n+1}\neq a$：若$a^{n+1}=a$，因为有$a^{n}*a^k=a^k*a^{n}=a^{k},\;k\in N^+$，所以$a^{n}$是幺元，矛盾
• $a$是唯一的生成元：若有两个或以上的生成元，则对任意生成元$a$，必有$a^{n+1}=a$（否则$a^k=a$只有在$k=1$时成立，即其它生成元生成不了$a$），矛盾

对于有限循环含幺半群$<S,*>$，$|S|=n$，$a$是其中的一个生成元，则有：

• $n\geq 2$，$S=\{a^0,a^1,...,a^{n-1}\}$（即$a^0,a^1,...,a^{n-1}$互不相同），$a^{n}\neq a$
• 当且仅当$a^{n}\neq a^0$时，$a$是唯一的生成元

证明：

• $n\geq 2$：有限循环含幺半群有一个幺元和至少一个生成元
• $a^0,a^2,...,a^{n-1}$互不相同：假设其中两个相等，那么$a$的幂运算会一直在这之间循环，此时$a$生成不了全部元素，矛盾
• $a^{n}\neq a$：假设$a^{n}=a$，则可以得到$a^{n-1}=a^0$，矛盾
• 当且仅当$a^{n}\neq a^0$时，$a$是唯一的生成元：n=2时显然成立，当n>2时
  • 充分性的证明：给定$a^{n}\neq a^0$，若有两个或以上的生成元，则对任意生成元$a$，因为$a^{n}\neq a$（已证），必有$a^{n}=a^0$（否则$a^k=a$只有在$k=1$时成立，即其它生成元生成不了$a$），矛盾
  • 必要性的证明：给定$a$是唯一的生成元，若$a^{n}=a^0$，又因为n>2，总能找到两个或以上的生成元（除了$a$外还有$a^k$，$k$是小于n的素数）

根据最后一条，还可以推出：
当$n>2$时，若存在生成元$a$有$a^{n}=a^0$，则必有两个或以上的生成元，反之，若有两个或以上的生成元，则对任意生成元$a$，必有$a^{n}=a^0$

注意：
对于有限循环半群，因为不能保证$a$是可消去元，
所以若无幺元（或有幺元），可以有（非必有）$a^{n+1}=a^k,\;1<k\leq n$（或$a^{n}=a^k,\;1<k\leq n-1$）
而对于有限循环群$<G,\circ>$，因为每个元素都可逆
所以不能有$a^{|G|}=a^k,\;k>0$，即必有$a^{|G|}=a^0$

有限循环半群与幂等元：在每个有限循环半群中，至少有一个幂等元存在

证明：参考 https://www.zhihu.com/question/41649882

群及其性质

群的定义及基本性质

群

• 定义：
  
  
• 交换群（阿贝尔群）、有限群：
  
• 变换群（置换群）：
  
• 群的性质：在群$<G,*>$中，有
  
• *4次单位根群：设$G=\left\{x\right|x^4=1,x是复数\}$，则$<G,\times>$是群且是4次单位根群，其中运算$\times$是普通乘法运算

例题

元素的周期

与半群类似，群同样有元素的幂运算（且必有幺元）
元素的周期（阶）：

元素周期的性质

• 周期内互异：
  
• 逆元周期相同：群$<G,*>$中任意元素$a$和它的逆元$a^{-1}$的周期相同
• 周期尽头是且仅是幺元：设$<G,*>$是一个群，$\forall a\in G$，若$a$的周期为$m$则$a^m=e$，并且有$a^n=e$当且仅当$m|n$
• $a^k$的周期：设$<G,*>$是一个群，$G$中$a$的周期为$m$，$a^k$的周期为$\frac{m}{(k,m)}$，其中$(n,m)$表示$k$与$m$的最大公因数（$[m,n]$则表示$mn$的最小公倍数）
  • 推论1：若$a$的周期为$nm$，则$a^n$的周期为$m$
  • 推论2：当且仅当$(n,k)=1$时$a$与$a^k(k\in Z)$的周期均为$n$
• $a*b$的周期：
  
• 有限群内元素的周期也有限：有限群$<G,*>$中每个元素的周期都是有限的，且不大于群$G$的阶（证明时，用鸽笼原理找两个相同元素，再用消去律易证）

证明形如$m|n$的结论，可以用反证法，即假设$m$不能整除$n$，则$\exist q\in Z$，使得$n=mq+r\;(1\leq r\leq m-1)$

例题

解：（惯用方法：证明$15|n且n|15$）

子群

子群

• 子群：（群的子代数不一定是子群，因为不一定有幺元且所有元素都有逆元）
  
• 平凡子群：
  

子群的判定

• 引理：（用幺元是群的唯一幂等元去证）
  
• 常用判定(5322)：（尤其是第2条和第3条较为常用）
  

判定方法使用例：
（1）有群$<G,*>$和代数$<S,*>$，若$S=\{a^n|\;n\in Z,Z是整数\}\;(a\in G)$，则$<S,*>$是$<G,*>$的子群
（可使用第3条证明）
（2）设$<G,*>$是一个群，$H_1,H_2,\cdots,H_n$是$G$的$n$个子群，则有$H=H_1\cap H_2\cap\cdots\cap H_n$是$G$的子群
（可用第2条证明）

群的同态

单一群同态、满群同态、群同构：

群同态的性质：

• 幺元逆元映射：
  
• 同态映射与子群：
  
• 满同态构成群：
  
• 群同构：
  • 若$G\leq 3$，则群$G$在同构的意义下只有一个
  • 若$G=4$，则群$G$在同构的意义下只有两个

同阶异构群的枚举比较难
若要借助运算表，先要找所有群的运算表
然后在这些运算表上在判断并去除同构的群

特殊群

交换群(阿贝尔群)

交换群

• 定义：若群$<G,*>$中的运算$*$满足交换律，则称$<G,*>$是一个交换群或阿贝尔群
• 充要条件：群$<G,*>$是交换群的充要条件是$\forall a,b\in G$有$(a*b)^2=a^2*b^2$

循环群

循环群

• 循环群、生成元：
  
• 循环群的判别（找生成元）：
  1. 假设生成元存在，并根据生成元的定义计算它
  2. 验证计算的结果是否就是生成元，若是则该群是循环群

n阶剩余类加群：群$<\underline{n},+_n>$是$n$阶剩余类加群，其生成集为$M=\{a|(a\in \underline{n})\and ((n,a)=1)\}$

循环群的性质：

• 是交换群：循环群都是交换群
• 群的阶与元素的周期相等：当$G=<g>$是个循环群时，群$G$的阶与生成元$g$的周期相等，当$g$的周期无限(有限)时$<g>$是个无限(有限)循环群
• 同构化：
  
• 其它推论（生成元、子群）：
  

例题：
设$a\in G$是群$<G,*>$中的任意元素，令$S=\{a^n|\;n\in Z\}$，证明$<S,*>$是群$<G,*>$的循环子群
证明：
因为$a$在$G$中对$*$满足封闭性，所以$\forall n\in Z$均有$a^n\in G$，即$S\subseteq G$
对于$\forall x,y\in Z$，有$a^x,a^y\in S$，且$a^x*a^(-y)=a^{x-y}\in S$，所以$<S,*>$是群且是$<G,*>$的子群
又因为$a$是$S$的生成元，所以$<S,*>$是$<G,*>$的循环子群

*一些思考

对于“循环群性质”中的“同构化”的证明：

• 对于无限群的同构：考虑建立映射$f:G\to Z,\forall g^k\in G,f(g^k)=k$，然后证明该映射是双射
• 对于有限群的同构：考虑建立映射$f:G\to \underline{n},\forall g^k\in G,f(g^k)=k$，然后证明该映射是双射

对于“循环群性质”中的“其它推论”中第四条“循环群$G=<a>$的子群一定是循环群”的证明：

1. 首先循环群的子群必有幺元，且该幺元与$G$中相同
2. 然后在子群中取$a^k$（$k\in N^+$且在子群中最小）
3. 反证法：若子群不是循环群，由封闭性可得出$k$不是在子群中最小的，矛盾
4. 证毕.

对于“其它推论”中的第(5)条的证明：

1. 设$G$的阶为$n$，对任意因子$d$，必存在有阶为$d$的循环子群$<a^k>\;(k=\frac{n}{d})$，即有$k|n$
2. 而对于任意阶为$d$的循环子群，设为$<a^t>$，则有$a^{dt}=e$，即有$n|dt$，即有$dk|dt$，因而有$k|t$
3. 所以$a^t$能由$a^k$生成，故$<a^t>$和$<a^k>$是同一循环子群
4. 证毕.

置换群

$n$元置换：

$n$次对称群、$n$次置换群：

$n$次对称群$<S_n,\circ>$包括所有在$S$上的$n$元置换，而$n$次置换群是它的子群

轨道

• 定义：
  
• 性质：
  

例题

证明群$<Z_n,+>$是循环群（$Z_n$是整数上的同余等价关系）
证明：

陪集与拉格朗日定理

陪集

同余关系

• 定义：
  
• 同余关系是等价关系：设$<H,*>$是$<G,*>$的任意一个子群，则模$H$同余关系是$G$上的等价关系（右陪集是同余关系$R$出发得到的对$G$的商集$G/R$）

陪集

• 左陪集、右陪集、代表元：
  
• 性质：
  
• 寻找方法：
  
• 拉氏引理：
  

对于这里的“性质”：
理解第(3)条就能理解第(2)条
而第(3)条用等价类直接理解
即因为陪集是等价类，所以有$a\in [b]_R \Leftrightarrow [a]_R=[b]_R$
其中$[b]_R=Hb,\;[a]_R=Ha$

拉格朗日定理

拉格朗日定理

• 拉格朗日定理：
  
• 推论1：设$H$是有限群$G$的子群，则$H$的阶整除$G$的阶，即$|H|\;|\;|G|$.
• 推论2：素数阶有限群$<G,*>$只有平凡子群，而无真子群.
• 推论3：有限群$<G,*>$中任意元素$a$的周期都整除群的阶.
• 推论4：阶为$n$的有限群$<G,*>$中，对$\forall a\in G$，有$a^n=e$.
• 推论5：阶为$n$的有限群$<G,*>$都有循环子群存在，该子群的生成元的周期均能整除$n$.
• 推论6：素数阶有限群$G$都是循环群，并且除幺元以外的其他元素都是其生成元.

轨道公式

轨道公式

• 轨道公式：
  
• 根据轨道划分：所有不同轨道的集合是$S$的划分，并且有$\left|S\right|=\sum\limits_{a\in P}\left|G\right|/\left|G_a\right|$，其中集合$P$是从不同轨道中取一个代表元而构成的集合
• 轨道数目的计算：（注意是轨道数目而不是长度）
  对$\forall g\in G,a\in S$，如果$g(a)=a$，则称$a$是$g$的不动点，利用不动点，可以得到计算轨道数目的公式
  $N=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{g\in G}\chi(g)$
  其中$N$是轨道数目，$\chi(g)$是$g$的不动点数目

*一些思考

轨道公式证明的关键思路：
对于任意$b\in \Omega _a$，存在$f\in G,\;f(a)=b$
令$I_b=\{i|i\in G,\;i(a)=b\}$，则有$I_b=f(G_a)$（关键步骤，利用反证法或双射定义可证）
所以$|G_a|=|I_b|$（特别有当$b=a$时$G_a=I_a$，根据对称性还有$G_b=I_b(G_b=\{g|\;g\in G,g(b)=b\})$）
又因为有$G=\sum\limits_{b\in \Omega _a} I_b\;$，故$|\Omega _a|*|G_a|=|G|$

对于轨道数目计算公式的证明：
在轨道公式的证明中，可以得到对于任意$b\in \Omega _a$，有$|G_a|=|I_b|$和$G_b=I_b$，即$|G_a|=|G_b|$
然后结合轨道公式即可证.