第12章 代数系统

代数系统

代数运算

二元运算：设$A,B,C$是非空集合，从$A\times B$到$C$的映射(或函数)$f:A\times B\to C$称为$A\times B$到$C$的二元代数运算，简称二元运算
算符：二元运算中除了用$*$以外，还常用$\sim ,\circ ,+ ,- ,\wedge ,\vee ,\cap ,\cup$
运算表：当集合$A$和$B$是有限集合时，一个$A\times B$到$C$的代数运算可以借用一个表来表示，称该表为运算表
二元运算封闭：如果$*$是$A\times A$到$A$的二元运算，则称运算$*$对集合$A$是封闭的，或者称$*$是$A$上的二元运算

*n元运算：设$A_1,A_2,\cdots,A_n$，$A$是非空集合,从$A_1\times A_2\times\cdots\times A_n$,到$A$的一个映射(或函数) $*$：$A_1\times A_2\times\cdots\times A_n\to A$称为从$A_1\times A_2\times\cdots\times A_n$到$A$的$n$元代数运算，简称$n$元运算.当$n=1$时,称为一元运算.
*$n$元运算上的封闭：设$*$是从$A_1\times A_2\times\cdots\times A_n$到$A$的$n$元代数运算，如果$A_1=A_2=...=A_n=A$,则称运算$*$对集合A是封闭的，或者称$*$是$A$上的$n$元代数运算．

代数系统与子代数

代数系统

代数系统：

同类型：

$<P(S),\cap,\cup,\sim>$称为集合代数
$<S,\land,V,\neg>$称为命题代数

子代数

设$<A,*_{1},*_{2},\cdots,*_{m}>$是代数系统，如果

1. $B\subseteq A$且$B\neq\varnothing$
2. $*_1,*_2,\cdots,*_m$都是$B$上的封闭运算

则$<B,*_{1},*_{1},\cdots,*_{m}>$也是一个代数系统，称其为$<A,*_{1},*_{2},\cdots,*_{m}>$的子代数系统，简称子代数，又若$B\subset A$，则称$<B,*_{1},*_{2},\cdots,*_{m}>$是$<A,*_{1},*_{2},\cdots,*_{m}>$的真子代数.

代数系统的应用

例题：
用代数系统说明正常调节之间的联系:

解：
设集合$A$是所有正常调节的字符串，则对任意$x,y\in A$，令$x*y=xy$
其中$*$称为字符串之间的连接运算
设集合$B=\{10^m10^n1|m,n\in\mathbf{N}\}$
对任意$x\in A$，$x$可以被表示为$B$中有限个字符串的连接
即$<A,*>$是一个代数系统

代数系统的基本运算和性质

*广群：只有一个二元运算的代数系统$<A,*>$

二元运算律（六律）

结合律

• 定义：
  

只有当运算满足结合律是才有$a*b*c=(a*b)*c=a*(b*c)$，否则$a*b*c$有歧义

交换律

• 定义：设$<A,*>$是二元代数系统，如果对$\forall a,b\in A$，都有$a*b=b*a$，则称$*$在$A$上是可交换的，或称$*$满足交换律.

消去律

• 定义：（有元，左右消）
  

幂等律

• 定义：（有元）
  
• $n$次幂：若$*$满足结合律，定义$a$的正整数幂$a^n$，称为$a$的$n$次幂

分配律

• 定义：（左右分配abc）
  

吸收律

• 定义：（左吸xxy）
  设$*$、$\circ$是集合$A$上的二元运算，$<A,*,\circ>$是一个代数系统，若对$\forall x,y\in A$，都有$x*(x\circ y)=x$以及$x\circ(x*y)=x$，则称$*$和$\circ$满足吸收律.

如果$*$对$\circ$满足第一分配律，且$\circ$满足结合律，且$a*(\begin{array}{c}b_1\circ b_2\cdots\circ b_n\end{array})=(a*b_1)\circ(a*b_2)\circ\cdots\circ(a*b_n)$

表中结论：

代数系统的性质（五元）

另外两元即可消去元、幂等元，在六律里面介绍过

幺元

• 定义：
  
• 寻找方式：
  
• 唯一性定理：（唯一性的证明一般用反证法）
  

零元

• 定义：（幺元和零元称为代数系统的特异元）
  
• 寻找方式：
  
  
• 零元与可消去元：零元一定不是可消去元，故存在零元的运算不满足消去律
• 唯一性定理：
  

逆元

• 定义：（若$a^{-1}$是$a$的逆元，则$a$和$a^{-1}$互为逆元）
  
• 逆元与可消去元：
  逆元(左逆元/右逆元)一定是可消去元(左可消去元/右可消去元)，但可消去元不一定是可逆元.
  在满足结合律的二元运算中，若$a,b$分别有逆元$a^{-1},b^{-1}$，则$(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$
• 唯一性定理：
  

幺元例题：
$<P(A\times A),\circ>$，其中$P(A\times A)$表示集合$A$上的所有二元关系集合，运算$\circ$表示关系的复合
解：

逆元例题：
下列代数系统中是否存在可逆元，如果存在，则计算可逆元的逆元
$<\mathbf{Z}^{+},+>$，其中$Z^+$是正整数集，$+$是普通加法运算
解：由于该代数系统不存在幺元，所以$Z^+$中的元没有逆元

例题：

（1）验证$<G,\circ>$是代数系统
解：

（5）如有可逆元,计算这些元的逆元
解：

同态与同构

同态与同构

同态与同构

• 定义：
  
• 单一同态、满同态、同构：
  
  
• 同态或同构的证明方法：（对于两个运算表，如果一个运算表改名并交换行列顺序后与另一个运算表相同，则这两个运算同构）
  

同态映射与子代数：设$\psi$是从$<A,*>$到$<B,*>$的同态映射,那么$\psi<(A),*>$是$<B,*>$的子代数.

同态的性质

满同态的性质

• 对于结合律、交换律、五元：
  
• 对于分配律、吸收律：
  

由于$\psi$是$<A,*>$到$<\psi(A),*>$的满同态，所以满同态的性质在这两个代数系统之间成立.

同构的性质：若$\psi$是从$<A,*>$到$<B,\circ>$的同构映射，则$\psi$的逆映射$\psi^{-1}$是从$<B,\circ>$到$<A,*>$的同构映射，因此，不仅$<B,\circ>$中的性质可以通过$\psi$转化为$<A,*>$中的性质，而且$<A,*>$中的性质可以通过$\psi^{-1}$转化为$<B,\circ>$的性质，即这两个代数系统具有完全相同的代数性质.

同态与同构的应用

例题1：

解：

例题2：