第11章 特殊图

欧拉图

欧拉图的定义

欧拉通路（回路）：设$G$是无孤立结点的无向图或有向图，若存在一条通路(回路)，经过图中每边一次且仅一次，则称此通路(回路)为该图的一条欧拉通路(回路).
欧拉图：具有欧拉回路的图称为欧拉图.(平凡图也是是欧拉图)

欧拉图的判定

无向图

• 欧拉通路：无向图$G=<V,E>$具有一条欧拉通路，当且仅当G是连通的，且仅有零个或两个奇度数结点。（若连通的无向图有两个奇度数结点,则它们是G中每条欧拉通路的端点）
• 欧拉回路：无向图$G=<V,E>$具有一条欧拉回路，当且仅当G是连通的，并且所有结点的度数均为偶数

有向图

• 欧拉通路：有向图$G$具有一条欧拉通路,当且仅当$G$是连通的,且除了两个结点以外，其余结点的人度等于出度，而这两个例外的结点中，一个结点的人度比出度大1，另一个结点的出度比入度大1.
• 欧拉回路：有向图$G$具有一条欧拉回路，当且仅当$G是连通的，且所有结点的入度都等于出度.

找欧拉图的3种技巧

• 直接一笔画
• 使用构造性定理：
  如果图中所有的边都经过了，显然这就是所求的欧拉通路。
  如果图中不是所有的边都经过了，就去掉已经过的边，得到一个由剩余的边组成的子图，这个子图必与已经过的通路在一个或多个结点相接。从这些结点中的一个开始，再通过边构造通路，这条通路一定最终回到始点。将这条回路加到已构造好的通路中间组合成一条通路。将这一过程重复下去，直到得到一条通过图中所有边的通路
• Fleury算法：
  

哈密顿图

哈密顿图的定义

哈密顿通路（回路）：对于无向图或有向图，经过图中每个结点一次且仅一次的通路(回路)称为哈密顿通路(回路)
哈密顿图：存在哈密顿回路的图称为哈密顿图.(平凡图为哈密顿图)

平行边与自回路存在与否不影响图中是否存在哈密顿通路(回路)，因而约定在以后讨论的图均为连通的简单图

哈密顿图的判定

无向图中哈密顿的判定

必要条件（删点数连通）

• 哈密顿图：
  
• 哈密顿通路：
  

删点时可以找一些度数较高的点去试
必要条件多用于证伪（证不存在）

充分条件（数度数）

• 哈密顿通路：
  
• 哈密顿图：
  
  

其它充分条件（少用）

• 标记法：会失效，少用。如果标完后存在两个相邻结点标记相同则失效。
  

例题：
判定图a是否存在哈密顿回路

（b）图b为使用必要条件求解，删掉若干点后连通数量过多即能说明不存在哈密顿图
（c）图c为使用定义进行推断：
利用哈密顿回路的性质,若存在哈密顿回路,则该回路组成的图中任何结点的度数均为⒉因此度数为2的结点所关联的边都在哈密顿回路中,度数大于n (n>2)的结点所关联的边中有n-2条不在哈密顿回路中,应予以删除,如果这样得到的图不连通,则图中不存在哈密顿回路．

*不重要内容：
利用扩大基本通路法+寻找基本回路对定理11.3.1的巧妙证明

有向图中哈密顿的判定

*哈密顿图的应用

抄近路算法求TSP近似解

算法过程

1. 求$G$中的一棵最小生成树$T$
2. 将$T$中各边均加一条与原边权值相同的平行边，设所得图为$G'$，显然$G'$是欧拉图
3. 在$E$中按如下方法求从结点$v$出发的一个哈密顿回路$H$：从$v$出发,沿$E$访问$G'$中的各个结点，在没有访问完所有结点之前，一旦出现重复出现的结点，就跳过它走到下一个结点

与最优解的差距

抄近路算法过程例子：

中国邮路问题的最优解法

中国邮路问题的等价定义：在一个有奇度数结点的赋权连通图中,增加一些平行边,使得新图不含奇度数结点,并且增加边的总权值最小.

算法过程

1. 确定可行方案：在配好对的奇度数结点之间各确定一条基本通路，然后将通路中的所有边均加一条平行边，这样产生的新图中无奇度数结点，因而存在欧拉回路
2. 调整可行方案：
   • 在最优方案中，图中每条边的重数小于或等于2.
   • 在最优方案中，图中每个基本回路上平行边的总权值不大于该回路的权值的一半.

算法过程例子：

其中(a)是原图，(b)是可行方案，(c)是不断调整后的最优方案

偶图

偶图的定义

偶图

• 偶图的定义：偶图不要求连通和是简单图；偶图没有自回路；平凡图和零图可看成特殊的偶图.
  
• 完全偶图的定义：
  

偶图的判断例子：

偶图的判定

充要条件：无向图$G=<V,E>$为偶图的充分必要条件是$G$的所有回路的长度均为偶数.

常使用它的逆否命题来判断一个图不是偶图：无向图$G$不是偶图的充分必要条件是$G$中存在长度为奇数的回路

平面图

平面图的定义

交叉点和交叉边：各边在结点处相交，而且还应该允许各边在某些非结点处相交，这样的点称为交叉点;而相交的边，称为交叉边
平面图：如果能把一个无向图$G$的所有结点和边画在平面上，使得任何两边除公共结点外没有其他交叉点，则称$G$为平面图，否则称$G$为非平面图

当且仅当一个图的每个连通分支都是平面图时，这个图是平面图，所以默认所讨论的图均为连通图

观察法判定平面图

观察法：将有可能交叉的边分别放置在某基本回路的内部或外部，以避免交叉，只有避免不了交叉时，这种图才是非平面图.

观察法判断例子:

前者是原图，后者是移动结点和边之后的图，可以看出后者内部的三条边至少有两条处于C的同一侧，从而避免不了交叉，故$K_{3,3}$为非平面图

欧拉公式判定平面图

面、边界和次数：

面与次数的关系：平面图中所有面的次数之和等于边数的二倍
欧拉公式（边、结点和面的关系）：设$G=<V,E>$是连通平面图，若它有$n$个结点，$m$条边和$r$个面，则有$m=n+r-2$.（归纳法可证）

推论

• 推论1：设$G$是一个$(n,m)$简单连通平面图，若$m>1$，则有$m\leq 3n-6$.
  （欧拉公式+面与次数的关系+简单图一个面至少3边 可证）
• 推论2：设$G$是一个$(n,m)$简单连通平面图，若每个面的次数至少为$k\;(k\geq 3)$，则有
  $m\leq \frac{k}{k-2}(n-2)$.
  （证法与推论1类似）

这里的推论常用来证伪（证非平面图）

库拉托夫斯基定理（图收缩法）

难用上所以比较少用，除非一眼看出

库拉托夫斯基定理：（将$K_5$和$K_{3,3}$称为库拉托夫斯基图）

使用例：判断图(a)是否是平面图
解法1：

收缩边$(v_i,u_i)$，用$w_i$代替，$i=1,2,3,4,5$，得到图(b)，即为图$K_5$，故非平面图.
解法2：

图(c)是图(a)的子图，收缩边$(v_i,u_i)$，用$w_i$代替，$i=1,2,3,4,5$，得到图(d)，即为图$K_{3,3}$，故非平面图.

对偶图

对偶图

• 定义：
  
• 性质：对于连通平面图$G$的对偶图$G^*$有
  
• 定理：
  

求平面图的对偶图例：

*面的着色

结点着色

• 定义：
  对无环无向图$G$结点的一种着色，是指对它的每个结点涂上一种颜色，使得相邻的结点涂不同的颜色．若能用k种颜色给$G$的结点着色，则称$G$是k一可着色的. 若$G$是k一可着色的,但不是(k-1)一可着色的，则称$G$是$k$一色图，这样的$k$称为$G$的色数，记为$\chi (G)$.
• 定理：
  • 图$G$是2一可着色的当且仅当$G$为偶图.
  • 设$G=<V,E>$是简单平面图，则$G$中至少存在一个度数小于或等于5的结点.