第8章 函数

函数

函数的定义

函数：

• 定义：
  
  
• 数量特点：
  • $|f|=|A|$
  • 将A到B的一切函数构成的集合记为$B^{A}=\{f\;|\;f:A\to B\}$，则$|B^{A}|=|B|^{|A|}$

$f(x)$表示一个变值，$f$代表一个集合，因此$f\neq f(x)$
注意关系和函数的基数不同，从A到B的不同关系有$2^{|A|\times |B|}$个

函数的类型

4种类型（对于A→B）：

• 定义：
  
• 必要条件：
  
• 单射与满射的关系：设$A,B$是有限集合，且$|A|=|B|$，$f$是从$A$到$B$的函数，则$f$是单射当且仅当$f$是满射

对于单射与满射的关系，在无限集合下不一定成立，例如：

对于双射：
若有$f:A\to B$，$g:B\to A$
且$f\circ g=I_A,\;\;g\circ f=I_B$
则有$f,g$都是双射函数

证明单射的常用思路：

• 反证法：假设存在$a_{1},a_{2}\in A$且$a_{1}\neq a_{2}$有$f(a_{1})=f(a_{2})$，则...推出$a_{1}=a_{2}$，出现矛盾假设不成立
• 直接法：对于$a_{1},a_{2}\in A$且$a_{1}\neq a_{2}$，证明存在某个元素属于$f(a_{1})$而不属于$f(a_{2})$，即证明$f(a_{1})\neq f(a_{2})$

常用函数

6种常用函数（设A和B是两个集合）：

函数的运算

函数的复合运算

函数的复合运算：

• 定义：
  
• 性质：除了关系复合运算的定理可以用外，还有如下定理
  
  

函数的逆运算

函数逆运算：

• 定义：
  
• 运算性质：
  1. $f^{-1}\circ f=I_B=\{<b,b>\mid b\in B\}$
  2. $f\circ f^{-1}=I_A=\{<a,a>\mid a\in A\}$
  3. $I_A\circ f=f\circ I_B=f$
  4. $f^{-1}$也是从B到A的双射

置换函数

置换函数概念

置换函数定义： 设$A=\{ a_1\:,a_2\:,\cdots,a_n\}$是有限集合﹒从A到A的双射函数称为A上的置换或排列记为$P:A\to A$，n称为置换的阶
n阶置换$P:A\to A$常表示为

$$P=\begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3&\cdots&a_n\\ P(a_1)&P(a_2)&P(a_3)&\cdots&P(a_n)\end{pmatrix}$$

两个置换的复合运算的结果还是A上的一个置换
集合A的基数为n，则A上不同置换函数的个数就是n!
置换是一种特殊的函数，那么置换也可以进行复合运算和求逆运算
循环置换：当循环置换是n重循环时，置换n次变回原来的排列