第6章 二元关系

二元关系

序偶和笛卡尔积

序偶：两个元素x,y按照一定的次序组成的二元组称为有序偶对，简称序偶，记作$<x,y>$
序偶相等：$<a,b>=<c,d>$当且仅当$a=c,b=d$
n重有序组：$<a_{1},a_{2},...,a_{n}>$
n重有序组相等：$<a_{1},a_{2},...,a_{n}>=<b_{1},b_{2},...,b_{n}>$当且仅当$a_{i}=b_{i}\;\;\;i=1,2,...,n$

笛卡尔积：$A\times B=\{<x,y>|x\in A\and y\in B\}$

• 不满足交换律，不满足结合律
• $A\times B=\phi$当且仅当$A=\phi$或$B=\phi$
• A，B均为有限集时，$|A\times B|=|B\times A|=|A|\times |B|$

笛卡尔积相关定理（$A,B,C,D$均是非空集合）：

n个集合的笛卡尔积：$A_{1}\times A_{2}\times ...\times A_{n}=\{<a_{1},a_{2},...,a_{n}>|a_{i}\in A_{i}\and i\in \{1,2,...,n\}\}$

• 当$A_{1}=A_{2}=...=A_{n}=A$时，$A_{1}\times A_{2}\times ...\times A_{n}=A^{n}$
• $|A_{1}\times A_{2}\times ...\times A_{n}|=|A_{1}|\times |A_{2}|\times ...\times |A_{n}|$

关系

关系：设A,B为两个非空集合，称A×B的任意子集R为从A到B的一个二元关系，简称关系，若A=B，则称R为A上的一个二元关系

• A到B的空关系：$R=\phi$
• A上的恒等关系：$R=I_{A}=\{<x,x>|x\in A\}$
• A到B的全关系：$R=A\times B$
• $xRy$：$<x,y>\in R$
• ：$<x,y>\notin R$

关系个数：$A\times B$共有$2^{|A|\times |B|}$个关系
前域、后域、定义域、值域、域：

n元关系：n个非空集合$A_{1},A_{2},...,A_{n}$的任意子集R为$A_{1}\times A_{2}\times ...\times A_{n}$的n元关系

关系的表示

3种表示方式

1. 集合表示法：即枚举法或叙述法
2. 关系图表示法：即使用有向图刻画关系R
   • $A\neq B$：有向图无自环
   • $A=B$：有向图可能有自环
3. 关系矩阵表示法：即R的邻接矩阵，记作$M_{R}$，关系矩阵是布尔矩阵

布尔矩阵的基本运算（对于两个mxn的矩阵A,B）：

• 并：记作$A\or B$，其中结果的每一个元素$c_{ij}$
  
• 交：记作$A\and B$，其中结果的每一个元素$c_{ij}$
  
• 布尔积：记作$A\bigodot B$，其中结果的每一个元素$c_{ij}$
  

布尔矩阵的运算定律（对于两个mxn的矩阵A,B）：

关系的应用

集合A到集合B上的关系可以看成是表（类似数据库中的表）

关系的运算

关系的基本运算：交并差补（即集合的基本运算，关系也是一种集合）
复合关系（合成关系）：$R\circ S=\left\{ <x,z>|x\in A\and z\in C\and (\exists y)(y\in B\and xRy\and ySz)\right\}$，其中$R:A\to B,\;\;S:B\to C$

复合关系的一些特性：

• 如果对任意的$x\in A$和$z\in C$,不存在$y\in B$，使得$xRy$和$ySz$同时成立,则$R\circ S$为空集,否则为非空集合
• $\phi \circ R=R\circ \phi=\phi$

复合关系的一些定理：

关系的逆运算

关系的幂运算

关系的性质

关系性质的定义

存在既不是对称也不是反对称的关系，也存在既是对称也是反对称的关系
非空集合A上的空关系是反自反的，因为$\forall x\in A$都有$<x,x>\notin R$
非空集合A上的空关系是反对称的，因为$\forall x,y\in A$都有$<x,y>\notin R$
不能脱离所在的集合谈论关系的性质

关系性质的判定定理

关系性质的保守性

逆运算与交运算具有较好的保守性
并运算、差运算和复合运算的保守性较差

关系的闭包

闭包运算：在给定关系R中添加最少的元素，使其具有需要的特殊性质

• 包括：自反闭包$r(R)$、对称闭包$s(R)$、传递闭包$t(R)$

求闭包的方法：

对于传递闭包，可使用warshall算法：https://blog.csdn.net/qq_61711593/article/details/124806165