第4章 谓词逻辑
谓词基本概念
谓词
- 个体词:分为个体常量(字母abc表示)、个体变量(字母xyz表示)
- 个体域:个体词的取值范围(常用D表示)
- 全总个体域:宇宙所有个体域构成的个体域
- n元谓词:定义在上取值于上的n元谓词,记为
- 0元谓词:一般的命题(不包含个体词)
量词
在n元谓词中,除了可以用个体常量代替个体变量,还可以用量化个体变量代替个体变量
- 全称量词:
- 存在量词:
- 辖域:对于或,称为全程量词或存在量词的辖域
谓词逻辑符号化的两条规则:
- 对于全称量词,刻画其对应个体域的特性谓词作为蕴含式之前件加入
- 对于全称量词,刻画其对应个体域的特性谓词作为合取式之合取项加入
谓词语言的翻译
当个体域是有限集合时量词可以消去,用集合内的元素表示出来
对于一个谓词,如果其中每一个变量都在一个量词的作用下,则它就不再是命题函数而是一个命题
一元谓词描述某个个体的某种关系,n元谓词描述n个个体之间的关系
量词出现的顺序不能随意颠倒(颠倒后对变元的约束范围可能不同)
谓词合式公式与解释
- 常量符号:小写字母a,b,c...
- 变量符号:小写字母x,y,z...
- 函数符号:小写字母f,g,h...
- 谓词符号:大写字母P,Q,R...
谓词合式公式
- 项:常量、变量、项的函数
- 原子公式(原子谓词公式):n个项的n元谓词
- 公式(谓词公式/合式公式):由原子公式、联结词、量词、圆括号和逗号的有限组合
自由变元和约束变元
- 自由变元:变元不受量词约束(管辖)
- 约束变元:变元受量词约束
- 闭式:公式无自由变元
改名和代入:相关变元全部变换,不能改变原有的约束关系
- 自由变元代入:整个公式内所有该变元改符号,且有别其它符号,还不能受约束.(因为能用个体常量代入,所以公式含义可能会变)
- 约束变元改名:量词管辖内所有该变元改符号,且有别其它符号.(公式含义不会变)
谓词公式的解释
解释I组成:
- 非空的个体域集合
- 公式G中的每个常量符号,指定中的某个特定的元素
- 公式G中的每个n元函数符号指定到中的某个特定的函数
- 公式G中的每个n元谓词符号指定到中的某个特定的谓词
谓词公式的分类
- 有效公式:公式在所有解释I下都取值为“真”
- 矛盾公式:公式在所有解释I下都取值为“假”
- 可满足公式:解释I可使公式为“真”或“假”
谓词公式的等价关系
- 等价:若是有效公式,那么和等价()
- 代入实例:将中的命题变元用谓词公式分别代入后得到的新谓词公式
例题
- 用谓词公式之间的等价关系证明下列公式之间的关系:
- 判断以下公式是否有效
公式的标准型-范式
前束范式
- 前束范式:谓词公式中的一切量词都位于该公式的最前端(不包含否定词),且这些量词的辖域都延伸到公式的末端
- 母式(基式):前束范式中除去前面量词(包括量词前的否定词)后,不包含量词的部分
- 定理:任一公式都有对应等价的前束范式,且不唯一
注意:
和,在推证过程中,可以互相推出,是由前提必为真保证的,这两个公式并不等价,不能在求前束范式时使用
Skolem标准型
- Skolem标准型:前束范式消去所有的存在量词和全称量词所得到的公式
- 定理:任一公式都有对应的前束范式,但不一定等价
- 量词消去规则:
- 全称量词:直接用一个量词符号代替(遵守命名原则),把量词约束去掉
- 存在量词:
- 前面没有全称量词,直接用一个量词符号代替(遵守命名原则),把量词约束去掉
- 前面有全称量词,用包含前面全称量词变元的函数代替(函数符号不能重复)
例子:
谓词逻辑的推理理论
谓词演算的演绎与推理
逻辑推理,其中
和都是公式
若对任意满足的解释都满足,则称该推理有效且称前者为一组前提后者为逻辑结果
定理:公式是前提集合的逻辑结果当且仅当为有效公式
推理规律:
推理规则:
使用注意:
错误使用例(4个均错误):
谓词演算的综合推理方法
研究对象:,且假定在相同的个体域(即全总个体域)下进行
推导方法:
- I、E:即基本等价法、推论法
- P、T、CP、反证:即规则P、规则T、规则CP、反证法
- UESG:规则US、规则ES、规则UG、规则EG(UESG自己编的缩写)
量词消去注意:
- 在进行量词消去时,如果需要用同一个个体来取代公式中的变元,则必须先消去存在量词,然后再消去全称量词
- 在用规则US和规则ES消去量词时,此量词必须位于整个公式的最前端(实际上只要确保前面的量词作用覆盖到后面的量词,量词的消除从左到右或就近原则都可以)
- 就近原则:
- 从左到右:
例如:
错误的量词消去方式
正确的量词消去方式
例题:
证明
反证法:
CP法:
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