第4章 谓词逻辑

谓词基本概念

谓词

  • 个体词:分为个体常量(字母abc表示)、个体变量(字母xyz表示)
  • 个体域:个体词的取值范围(常用D表示)
  • 全总个体域:宇宙所有个体域构成的个体域
  • n元谓词:定义在Dn上取值于{0,1}上的n元谓词,记为P(x1,x2,...,xn)
  • 0元谓词:一般的命题(不包含个体词)

量词

在n元谓词中,除了可以用个体常量代替个体变量,还可以用量化个体变量代替个体变量

  • 全称量词:(x)
  • 存在量词:(x)
  • 辖域:对于(x)F(x)(x)F(x)F(x)称为全程量词或存在量词的辖域

谓词逻辑符号化的两条规则:

  1. 对于全称量词(x),刻画其对应个体域的特性谓词作为蕴含式之前件加入
  2. 对于全称量词(x),刻画其对应个体域的特性谓词作为合取式之合取项加入

谓词语言的翻译

当个体域是有限集合时量词可以消去,用集合内的元素表示出来
对于一个谓词,如果其中每一个变量都在一个量词的作用下,则它就不再是命题函数而是一个命题
一元谓词描述某个个体的某种关系,n元谓词描述n个个体之间的关系
量词出现的顺序不能随意颠倒(颠倒后对变元的约束范围可能不同)

谓词合式公式与解释

  • 常量符号:小写字母a,b,c...
  • 变量符号:小写字母x,y,z...
  • 函数符号:小写字母f,g,h...
  • 谓词符号:大写字母P,Q,R...

谓词合式公式

  • 项:常量、变量、项的函数
  • 原子公式(原子谓词公式):n个项t1,t2,...,tn的n元谓词P(x1,x2,...,xn)
  • 公式(谓词公式/合式公式):由原子公式、联结词、量词、圆括号和逗号的有限组合

自由变元和约束变元

  • 自由变元:变元不受量词约束(管辖)
  • 约束变元:变元受量词约束
  • 闭式:公式无自由变元

改名和代入:相关变元全部变换,不能改变原有的约束关系

  • 自由变元代入:整个公式内所有该变元改符号,且有别其它符号,还不能受约束.(因为能用个体常量代入,所以公式含义可能会变)
  • 约束变元改名:量词管辖内所有该变元改符号,且有别其它符号.(公式含义不会变)

谓词公式的解释

解释I组成:

  1. 非空的个体域集合D
  2. 公式G中的每个常量符号,指定D中的某个特定的元素
  3. 公式G中的每个n元函数符号指定DnD中的某个特定的函数
  4. 公式G中的每个n元谓词符号指定Dn{0,1}中的某个特定的谓词

谓词公式的分类

  • 有效公式:公式在所有解释I下都取值为“真”
  • 矛盾公式:公式在所有解释I下都取值为“假”
  • 可满足公式:解释I可使公式为“真”或“假”

谓词公式的等价关系

  • 等价:若GH是有效公式,那么GH等价(G=H
  • 代入实例:将G(P1,P2,...,Pn)中的命题变元P1,P2,...,Pn用谓词公式G1,G2,...,Gn分别代入后得到的新谓词公式

例题

  1. 用谓词公式之间的等价关系证明下列公式之间的关系:
    (x)P(x)Q(x)=(y)(P(y)Q(x))
  2. 判断以下公式是否有效
    ((x)P(x)Q(x))((x)P(x)(x)Q(x))

公式的标准型-范式

前束范式

  • 前束范式:谓词公式G中的一切量词都位于该公式的最前端(不包含否定词),且这些量词的辖域都延伸到公式的末端
  • 母式(基式):前束范式中除去前面量词(包括量词前的否定词)后,不包含量词的部分
  • 定理:任一公式都有对应等价的前束范式,且不唯一

注意:
xP(x)P(y),在推证过程中,可以互相推出,是由前提必为真保证的,这两个公式并不等价,不能在求前束范式时使用

Skolem标准型

  • Skolem标准型:前束范式消去所有的存在量词和全称量词所得到的公式
  • 定理:任一公式都有对应的前束范式,但不一定等价
  • 量词消去规则:
    • 全称量词:直接用一个量词符号代替(遵守命名原则),把量词约束去掉
    • 存在量词:
      1. 前面没有全称量词,直接用一个量词符号代替(遵守命名原则),把量词约束去掉
      2. 前面有全称量词,用包含前面全称量词变元的函数代替(函数符号不能重复)

例子:

谓词逻辑的推理理论

谓词演算的演绎与推理

逻辑推理ΓH,其中Γ={G1,G2,...,Gn}
G1,G2,...,GnH都是公式
若对任意满足G1,G2,...,Gn的解释I都满足H,则称该推理有效且称前者为一组前提后者为逻辑结果

定理:公式H是前提集合Γ={G1,G2,...,Gn}的逻辑结果当且仅当G1G2...GnH为有效公式

推理规律:

推理规则:

使用注意:

错误使用例(4个均错误):

谓词演算的综合推理方法

研究对象:G1,G2,...,GnG,且假定在相同的个体域(即全总个体域)下进行

推导方法:

  • I、E:即基本等价法、推论法
  • P、T、CP、反证:即规则P、规则T、规则CP、反证法
  • UESG:规则US、规则ES、规则UG、规则EG(UESG自己编的缩写)

量词消去注意:

  • 在进行量词消去时,如果需要用同一个个体来取代公式中的变元,则必须先消去存在量词,然后再消去全称量词
  • 在用规则US和规则ES消去量词时,此量词必须位于整个公式的最前端(实际上只要确保前面的量词作用覆盖到后面的量词,量词的消除从左到右或就近原则都可以)
    • 就近原则:D={a,b}(x)(y)R(x,y)=(x)(R(x,a)R(x,b))=(R(a,a)R(a,b))(R(b,a)R(b,b))
    • 从左到右:D={a,b}(x)(y)R(x,y)=(y)R(a,y)(y)R(b,y)=(R(a,a)R(a,b))(R(b,a)R(b,b))

例如:
错误的量词消去方式

正确的量词消去方式

例题:
证明(x)(P(x)Q(x))(x)P(x)(x)Q(x)
反证法:

CP法:

posted @   kksk43  阅读(758)  评论(0编辑  收藏  举报
相关博文:
阅读排行:
· 微软正式发布.NET 10 Preview 1:开启下一代开发框架新篇章
· 没有源码,如何修改代码逻辑?
· PowerShell开发游戏 · 打蜜蜂
· 在鹅厂做java开发是什么体验
· WPF到Web的无缝过渡:英雄联盟客户端的OpenSilver迁移实战
特效
黑夜
侧边栏隐藏
点击右上角即可分享
微信分享提示