第4章 谓词逻辑

谓词基本概念

谓词

• 个体词：分为个体常量（字母abc表示）、个体变量（字母xyz表示）
• 个体域：个体词的取值范围（常用D表示）
• 全总个体域：宇宙所有个体域构成的个体域
• n元谓词：定义在\(D^{n}\)上取值于\(\{0,1\}\)上的n元谓词，记为\(P(x_{1},x_{2},...,x_{n})\)
• 0元谓词：一般的命题（不包含个体词）

量词

在n元谓词中，除了可以用个体常量代替个体变量，还可以用量化个体变量代替个体变量

• 全称量词：\((\forall x)\)
• 存在量词：\((\exists x)\)
• 辖域：对于\((\forall x)F(x)\)或\((\exists x)F(x)\)，\(F(x)\)称为全程量词或存在量词的辖域

谓词逻辑符号化的两条规则：

1. 对于全称量词\((\forall x)\)，刻画其对应个体域的特性谓词作为蕴含式之前件加入
2. 对于全称量词\((\exists x)\)，刻画其对应个体域的特性谓词作为合取式之合取项加入

谓词语言的翻译

当个体域是有限集合时量词可以消去，用集合内的元素表示出来
对于一个谓词，如果其中每一个变量都在一个量词的作用下，则它就不再是命题函数而是一个命题
一元谓词描述某个个体的某种关系，n元谓词描述n个个体之间的关系
量词出现的顺序不能随意颠倒（颠倒后对变元的约束范围可能不同）

谓词合式公式与解释

• 常量符号：小写字母a,b,c...
• 变量符号：小写字母x,y,z...
• 函数符号：小写字母f,g,h...
• 谓词符号：大写字母P,Q,R...

谓词合式公式

• 项：常量、变量、项的函数
• 原子公式（原子谓词公式）：n个项\(t_{1},t_{2},...,t_{n}\)的n元谓词\(P(x_{1},x_{2},...,x_{n})\)
• 公式（谓词公式/合式公式）：由原子公式、联结词、量词、圆括号和逗号的有限组合

自由变元和约束变元

• 自由变元：变元不受量词约束（管辖）
• 约束变元：变元受量词约束
• 闭式：公式无自由变元

改名和代入：相关变元全部变换，不能改变原有的约束关系

• 自由变元代入：整个公式内所有该变元改符号，且有别其它符号，还不能受约束.（因为能用个体常量代入，所以公式含义可能会变）
• 约束变元改名：量词管辖内所有该变元改符号，且有别其它符号.（公式含义不会变）

谓词公式的解释

解释I组成：

1. 非空的个体域集合\(D\)
2. 公式G中的每个常量符号,指定\(D\)中的某个特定的元素
3. 公式G中的每个n元函数符号指定\(D^{n}\)到\(D\)中的某个特定的函数
4. 公式G中的每个n元谓词符号指定\(D^{n}\)到\(\{0,1\}\)中的某个特定的谓词

谓词公式的分类

• 有效公式：公式在所有解释I下都取值为“真”
• 矛盾公式：公式在所有解释I下都取值为“假”
• 可满足公式：解释I可使公式为“真”或“假”

谓词公式的等价关系

• 等价：若\(G\leftrightarrow H\)是有效公式，那么\(G\)和\(H\)等价（\(G=H\)）
• 代入实例：将\(G(P_{1},P_{2},...,P_{n})\)中的命题变元\(P_{1},P_{2},...,P_{n}\)用谓词公式\(G_{1},G_{2},...,G_{n}\)分别代入后得到的新谓词公式

例题

1. 用谓词公式之间的等价关系证明下列公式之间的关系：
   \((\forall x)P(x)\to Q(x)=(\exists y)(P(y)\to Q(x))\)
2. 判断以下公式是否有效
   \(((\forall x)P(x)\to Q(x))\to ((\forall x)P(x)\to(\forall x)Q(x))\)

公式的标准型-范式

前束范式

• 前束范式：谓词公式\(G\)中的一切量词都位于该公式的最前端（不包含否定词），且这些量词的辖域都延伸到公式的末端
• 母式（基式）：前束范式中除去前面量词（包括量词前的否定词）后，不包含量词的部分
• 定理：任一公式都有对应等价的前束范式，且不唯一

注意：
\(\forall xP(x)\)和\(P(y)\)，在推证过程中，可以互相推出，是由前提必为真保证的，这两个公式并不等价，不能在求前束范式时使用

Skolem标准型

• Skolem标准型：前束范式消去所有的存在量词和全称量词所得到的公式
• 定理：任一公式都有对应的前束范式，但不一定等价
• 量词消去规则：
  • 全称量词：直接用一个量词符号代替（遵守命名原则），把量词约束去掉
  • 存在量词：
    1. 前面没有全称量词，直接用一个量词符号代替（遵守命名原则），把量词约束去掉
    2. 前面有全称量词，用包含前面全称量词变元的函数代替（函数符号不能重复）

例子：

谓词逻辑的推理理论

谓词演算的演绎与推理

逻辑推理\(\Gamma \Rightarrow H\),其中\(\Gamma =\{G_{1},G_{2},...,G_{n}\}\)
\(G_{1},G_{2},...,G_{n}\)和\(H\)都是公式
若对任意满足\(G_{1},G_{2},...,G_{n}\)的解释\(I\)都满足\(H\)，则称该推理有效且称前者为一组前提后者为逻辑结果

定理：公式\(H\)是前提集合\(\Gamma =\{G_{1},G_{2},...,G_{n}\}\)的逻辑结果当且仅当\(G_{1}\and G_{2}\and ...\and G_{n}\to H\)为有效公式

推理规律：

推理规则：

使用注意：

错误使用例（4个均错误）：

谓词演算的综合推理方法

研究对象：\(G_{1},G_{2},...,G_{n}\Rightarrow G\)，且假定在相同的个体域（即全总个体域）下进行

推导方法：

• I、E：即基本等价法、推论法
• P、T、CP、反证：即规则P、规则T、规则CP、反证法
• UESG：规则US、规则ES、规则UG、规则EG（UESG自己编的缩写）

量词消去注意：

• 在进行量词消去时，如果需要用同一个个体来取代公式中的变元，则必须先消去存在量词，然后再消去全称量词
• 在用规则US和规则ES消去量词时，此量词必须位于整个公式的最前端（实际上只要确保前面的量词作用覆盖到后面的量词，量词的消除从左到右或就近原则都可以）
  • 就近原则：\(D=\{a,b\}\\(\forall x)(\exist y)R(x,y)\\=(\forall x)(R(x,a)\or R(x,b))\\=(R(a,a)\or R(a,b))\and (R(b,a)\or R(b,b))\)
  • 从左到右：\(D=\{a,b\}\\(\forall x)(\exist y)R(x,y)\\=(\exist y)R(a,y)\and (\exist y)R(b,y)\\=(R(a,a)\or R(a,b))\and (R(b,a)\or R(b,b))\)

例如：
错误的量词消去方式

正确的量词消去方式

例题：
证明\((\forall x)(P(x)\or Q(x))\Rightarrow (\forall x)P(x)\or (\exists x)Q(x)\)
反证法：

CP法：