第3章命题逻辑

前面部分内容略

范式

析取范式和合取范式

文字：命题变元或变元的否定
短语 $\wedge$ （合取式）：有限个文字的合取（ $文字\wedge ...\wedge 文字$ ，或 $文字$ ）
子句 $\vee$ （析取式）：有限个文字的析取（ $文字\vee ...\vee 文字$ ，或 $文字$ ）
合取范式：有限个子句的合取式（ $子句\wedge ...\wedge 子句$ ，或单个 $子句$ ）
析取范式：有限个短语的析取式（ $短语\vee ...\vee 短语$ ，或单个 $短语$ ）

例：
$~P、P$ 是文字， $(P)$ 不是文字
$P\wedge Q、P\wedge Q\wedge R、(P\wedge Q)$ 是短语， $P\wedge (Q)、P\wedge (Q\wedge R)、\sim (P\wedge Q)$ 不是短语，子句与此类似
$P\wedge Q\wedge R$ 是析取范式、合取范式， $(P\wedge Q\wedge R)$ 只能是析取范式
$(P\wedge Q) \vee (Q\wedge R)$ 是析取范式， $P\wedge (Q\wedge R)、\sim (P\wedge Q)$ 既不是析取范式、也不是合取范式

主析取范式和主合取范式

极小项：每个命题变元或其否定按序不重复出现的短语
极大项：每个命题变元或其否定按序不重复出现的子句
主合取范式：每一个子句都是极大项的合取范式
主析取范式：每一个短语都是极小项的析取范式

例：
对于命题变元 $P,Q,R$ ，有
$P\wedge Q\wedge R,\;P\wedge \sim Q\wedge R$ 是极小项（为真时对应的编码分别为111和101）
$P\vee Q\vee R,\;\sim P\vee Q\vee \sim R$ 是极大项（为假时对应的编码分别为000和101）

对 于 同 一 命 题 变 元 序 列 下 的 不 同 极 小 项 m 和 极 大 项 M ， 范 式 取 值 规 定 有 ： M_{i} \land M_{j} = 1, i \neq j m_{i} \lor m_{j} = 0, i \neq j M_{i} =\sim m_{i}, m_{i} =\sim M_{i}

$对于同一命题变元序列下的不同极小项m和极大项M，范式取值规定有：\\ M_{i}\wedge M_{j}=1,\; i\neq j \\ m_{i}\vee m_{j}=0,\; i\neq j \\ M_{i}=\sim m_{i},\;m_{i}=\sim M_{i} \\$

主 析 取 范 式 \to 主 合 取 范 式 （ 反 过 来 类 似 ） ： 对 于 所 有 编 码 的 集 合 E, 存 在 A \subseteq E G = \lor_{i \in A} m_{i} G =\sim\sim \lor_{i \in A} m_{i} G =\sim \land_{i \in A} \sim m_{i} G =\sim \land_{i \in A} M_{i} G = \land_{i \in E - A} M_{i}

$主析取范式\to 主合取范式（反过来类似）：\\ 对于所有编码的集合E,\;存在A\subseteq E\\ G=\vee_{i\in A}m_{i}\\ G=\sim \sim \vee_{i\in A}m_{i}\\ G=\sim \wedge_{i\in A}\sim m_{i}\\ G=\sim \wedge_{i\in A}M_{i}\\ G=\wedge_{i\in E-A}M_{i}$

就是对每个极小元(极大元)取反，然后再取补集
或者先取补集，然后对每个极小元(极大元)取反 ←推荐这样做，因为容易对着真值表写

注意，取反操作是因为极小元和极大元的编码规则不一样
对于极小元，编码对应的各元素的值使得极小元为真，比如 $P\wedge Q\wedge R$ ，对应编码为 $111$
对于极大元，编码对应的各元素的值使得极大元为假，比如 $P\vee Q\vee R$ ，对应编码为 $000$

范式的应用

将命题公式转变为范式，判断公式类型（永真/永假/可满足式）、证明是否等价
永真公式无主合取范式，永假公式无主析取范式

命题逻辑的推理理论

推理的基本概念和推理形式

有效推理： $\Gamma \Rightarrow H$

对 于 任 意 解 释 I 均 满 足 Γ 时 ， I 也 满 足 H 其 中 一 组 前 提 Γ = {G_{1}, G_{1}, . . ., G_{n}}, 而 前 提 G 和 逻 辑 结 果 H 均 是 公 式

$对于任意解释I均满足\Gamma 时，I也满足H\\ 其中一组前提\Gamma =\{G_{1},G_{1},...,G_{n}\},\;\;而前提G和逻辑结果H均是公式$

{G_{1}, G_{1}, . . ., G_{n}} \Rightarrow H 成 立 当 且 仅 当 G_{1} \land G_{1} \land . . . \land G_{n} \to H 为 永 真 公 式

$\{G_{1},G_{1},...,G_{n}\} \Rightarrow H成立\\ 当且仅当G_{1}\wedge G_{1}\wedge ...\wedge G_{n}\to H为永真公式$

推理定律：
真值表法：
检查前提均为真时结论是否为真
公式转换法：
证明 $G_{1}\wedge G_{1}\wedge ...\wedge G_{n}\to H$ 为永真公式
演绎法：直接证明
规则P：引用前提
规则T：引用等价公式
规则CP（附加前提）：欲证 $\Gamma \Rightarrow P\to S$ 即证 $\Gamma ,P\Rightarrow S$
反证法：
欲证 $G_{1}, G_{2}, ..., G_{n}\Rightarrow H$ 即证 $G_{1}\wedge G_{2}\wedge ...\wedge G_{n}\wedge \sim H$ 永假（不一致）
一致：对于 $G_{1}, G_{2}, ..., G_{n}$ ，存在解释 $I$ 使得 $G_{1}\wedge G_{2}\wedge ...\wedge G_{n}$ 为真