概率论笔记（1）

注：笔记主要来自北大出版社出的《概率论与数理统计》一书，侵删
若有不当，欢迎指出

第一章（概率论的基本概念）

第一节（样本空间、随机事件）

随机试验（E）：

可以在相同的条件下重复进行。
每次试验的可能结果不止一个，并且事先可以明确试验所有可能出现的结果。
进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。

样本空间（ $\Omega$ ）：随机试验E的所有基本结果组成的集合。

必然事件： $\Omega$
不可能事件： $\varnothing$

样本点：样本空间的元素（E的每个基本结果）

基本事件：由一个样本点组成的单点集（用大写字母表示）。
复合事件：由基本事件复合而成。

事件之间的关系

$A\subset B$ ：A发生必然导致事件B发生
$A\cup B$ ：事件A与B至少有一个发生（ $A+B$ 的用法大致一样，不过约定上 $+$ 一般是用在两个互斥事件上）
$A\cap B$ ：事件A与B同时发生
$A-B$ ：事件A发生而B不发生（注： $A-\Omega =\varnothing$ ）
$A\cap B=\varnothing$ ：事件A与B不可能同时发生（互斥）
$A\cup B=\Omega$ 且 $A\cap B=\varnothing$ ：事件A与事件B互为对立事件（互为逆事件）,A的对立事件记为 $\overline{A}$ （显然 $\overline{A}=\Omega -A$ ）

事件之间的运算
略，与集合的运算相同

第二节（概率、古典概型）

频率： $f_{n}(A)=\frac{k}{n}$ ， $n$ 次试验发生了 $k$ 次
频率性质：

$0\leqslant f_{n}(A)\leqslant 1$
$f_{n}(\Omega )=1$
$f_{n}(\bigcup_{i=1}^{m}A_{i})=\sum_{i=1}^{m}f_{n}(A_{i})$

概率的公理化定义
（P(A)为事件A的概率）

非负性： $P(A)\geqslant 0$
规范性： $P(\Omega )=1$
可数可加性： $P(\bigcup_{n=1}^{\infty }A_{n})=\sum_{n=1}^{\infty }P(A_{n})$

概率的性质

$P(\varnothing)=0$
$P(\bigcup_{k=1}^{n}A_{k})=\sum_{k=1}^{n}P(A_{k})$
$P(B-A)=P(B)-P(AB)$
$A,B$ 为两个事件，若 $A\subset B$ ,有： $P(B-A)=P(B)-P(A) ,P(A)\leqslant P(B)$
任意事件 $A$ 有 $P(A)\leqslant 1=P(\Omega)$
任意事件 $A$ 有 $P(\overline{A})=1-P(A)$
任意事件 $A,B$ ，有： $P(A_{1}\cup A_{2}\cup ... \cup A_{n})=\sum_{i=1}^{n}P(A_{i})-\sum_{1\leqslant i< j\leqslant n}P(A_{i}A_{j})+\sum_{1\leqslant i< j< k\leqslant n}P(A_{i}A_{j}A_{k})-...+(-1)^{n-1}P(A_{1}A_{2}...A_{n})$

古典概型（等可能概型）

试验的样本空间 $\Omega$ 只有有限个样本点，即 $\Omega =\left\{{\omega}_{1},{\omega}_{2},...,{\omega}_{n}\right\}$
试验中每个基本事件的发生是等可能的，即 $P(\left\{{\omega}_{1}\right\})=P(\left\{{\omega}_{2}\right\})=...=P(\left\{{\omega}_{n}\right\})$

几何概型特点

样本空间 $\Omega$ 是一个几何区域，可度量为 $m(\Omega)$
若落在区域 $\Omega$ 内任意点等可能，则落在区域 $A$ 的可能性正比于 $m(\Omega)$ ，与 $A$ 的位置和区域无关

第三节（条件概率、全概率公式）

条件概率： $P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$ （ $A,B$ 为两个事件，且 $P(B)>0$ ， $P(A|B)$ 为 $B$ 已发生下A发生的概率， $“|”$ 优先级比 $"\cup "$ 低）

乘法定理： $P(A_{1}A_{2}...A_{n})=P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})P(A_{3}|A_{1}A_{2})...P(A_{n}|A_{1}A_{2}...A_{n-1})$
（ $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ 为n个事件，且 $P(A_{1}A_{2}...A_{n})>0$ ）

对样本空间 $\omega$ 的划分：
$\omega$ 为样本空间， $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ 为 $\omega$ 的一组事件
$A_{1},A_{2},...,A_{n}$ 为 $\omega$ 的一个划分，当且仅当

$A_{i}A_{j}=\phi,i\neq j;i,j=1,2,...,n$
$\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}=\omega$

全概率公式： $P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_{i})P(B|A_{i})$ （ $B$ 为样本空间 $\omega$ 的任一事件， $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ 为 $\omega$ 的一个划分，且 $P(A_{i})>0$ ， $i=1,2,...,n$ ）
贝叶斯公式（逆概率公式）： $P(A_{i}|B)=\frac{P(B|A_{i})P(A_{i})}{\sum_{j=1}^{n}P(B|A_{j})P(A_{j})},i=1,2,...,n.$ （样本空间为 $\omega$ ，B为 $\omega$ 中的事件， $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ 为 $\omega$ 的一个划分，且 $P(B)>0,P(A_{i})>0$ ， $i=1,2,...,n$ ）

第四节（独立性）

事件独立性的定义：事件 $A_{1},A_{2}$ ，满足 $P(A_{1}A_{2})=P(A_{1})P(A_{2})$
定理：事件 $A,B$ 独立，则 $A,\overline{B}$ 独立， $\overline{A},B$ 独立， $\overline{A},\overline{B}$ 独立
定理：事件 $A,B$ 独立，且 $0<P(A)<1$ ，则 $P(B|A)=P(B|\overline{A})=P(B)$
两两独立和相互独立：事件的相互独立是两两独立的充分不必要条件。（区分：事件的相互互斥和两两互斥是充分必要条件）

互斥->不相容->不独立
不互斥->相容->可独立
若独立与互斥等价，则事件A，B至少一个为 $\phi$

伯努利试验：试验 $E$ 只有两个可能结果 $A$ 和 $\overline{A}$ （独立重复地进行n次，则称为n重伯努利试验）
$P(C_{1}C_{2}...C_{n})=P(C_{1})P(C_{2})...P(C_{n})$ （ $C_{i}$ 为第i次试验的结果， $C_{i}$ 为 $A$ 或 $\overline{A}$ ， $i=1,2,...,n$ ）
$n$ 重伯努利试验中 $A$ 出现 $K$ 次的概率： $P_{n}(k)=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k},k=0,1,2,...,N.$