Matlab应用笔记--灰色预测

注：本篇随笔依据《Matlab在数学建模上的应用》中第3章介绍来写，主要简单介绍灰色模型及其Matlab实现
（博客以及Matlab小白，若有不当欢迎指出）

灰色模型（gray model）简介

灰色模型的作用：解决数据预测问题。
灰色模型的优点：实用稳定，不仅适用于大数据量的预测，在数据量比较少时（3个以上即可）预测结果依旧准确。

Matlab中灰色模型的使用

详细流程（熟悉的话可跳过看总结）

（1）先对数据进行预处理。

预处理是指将杂乱无章的数据列通过一定的方法处理，变成有规律的时间序列数据。
常用的数据处理方式有累加和累减两种，通常用累加。
设原始数据列：$x^{(0)}=（x^{(0)}(1),x^{(0)}(2),...,x^{(0)}(n)）$
累加：$x^{(1)}(t)=\sum_{k=1}^{t}x^{(0)}(k), t=1,2,...,n$

（2）建立$x^{(1)}(t)$的一阶线性微分方程。

在诸多灰色模型中，单序列一阶线性微分方程模型GM(1,1)最为常用。
$\frac{dx^{(1)}}{dt}+ax^{(1)}=u$
其中a,u为待定系数，分别称为发展系数和灰色作用量，构造矩阵$\widehat{a}=\binom{a}{u}$

（3）建立累加矩阵B和常数项向量Y。

（4）最小二乘法求解灰参数$\widehat{a}$。

$\widehat{a}=(B^{T}B)^{-1}B^{T}Y$

（5）将灰参数$\widehat{a}$代入模型求解。

得到：$\widehat{x}^{(1)}(t+1)=(x^{(0)}(1)-\frac{u}{a})e^{-at}+\frac{u}{a}$

（6）还原为$\widehat{x}^{(0)}$序列。

$\widehat{x}^{(0)}(t+1)=\widehat{x}^{(1)}(t+1)-\widehat{x}^{(1)}(t)$

（7）检验模型。

也可以直接作图看效果。

（8）利用模型进行预测。

大致流程（总结）

①对原始数据进行累加。（弱化随机性和波动性）
②构建累加矩阵B与常数向量。
③求解灰参数。
④将参数带入预测模型进行数据预测。

模版代码

clear
A=[1810,1938,1838,1463];      %数据（必须大于3个）
B=cumsum(A);                  %对向量中的元素累加（第几个等于原来的前几个之和）
n=length(A);                  %数据量（向量长度）
 
for i=1:(n-1)                  %求相邻数据的均值向量
    C(i)=(B(i)+B(i+1))/2;
end
E=[-C;ones(1,n-1)];            %求累加矩阵B
 
D=A;D(1)=[];
D=D';                          %求常数项列向量Y
 
c=(E*E')\(E*D);                %求系数矩阵（列向量）a
c=c';                          %转置（变为行向量）
 
a=c(1);b=c(2);
F=[];F(1)=A(1);
for i=2:(n+3)                  %还要预测接下来的3个数据
    F(i)=(A(1)-b/a)/exp(a*(i-1))+b/a;      %直接带入灰参数得到模型，求数据
end
 
G=[];G(1)=A(1);
for i=2:(n+3)
    G(i)=F(i)-F(i-1);      %还原序列（去累加）
end
 
t1=1:4;
t2=1:7;
G                        %显示根据灰色模型得到的数据
plot(t1,A,'o',t2,G)      %作图，将原始数据与灰色模型得到的数据相比较