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问题111: 一架小飞机有 4 排座位，每排有 3 个座位。已经有八名乘客登机，他们在这些座位中随机就坐.

一架小飞机有 4 排座位，每排有 3 个座位。已经有八名乘客登机，他们在这些座位中随机就坐. 接下来要登机的是一对夫妻. 问这对夫妻能够坐在同一排的 2 个相邻座位上的概率是多少?

解答

由于座位总数是12个, 因此当8名乘客登机后, 还剩下4个空座. 夫妻能坐在同一排相邻座位的概率就是四个空座至少有一对空座相邻的概率.
因此问题转化为: 12个座位中任选4个, 至少有一对座位相邻的概率. 这样就有了以下两种思路:

总共四个空座, 四个空座有两个相邻的情形共四种:

情形一：某一排3个，另一排1个，共 $C_{4}^{3} \cdot C_{9}^{1} = 36$ ⋅𝐶19=36 种.
情形二：某一排相邻2个，另2排各1个，共 $C_{4}^{3} \cdot C_{2}^{1} \cdot C_{3}^{2} \cdot 3 \cdot 3 = 216$ ⋅𝐶12⋅𝐶23⋅3⋅3=216 种
情形三: 某一棑相邻 2 个，另一排不相邻2个, 共 $C_{4}^{1} \cdot C_{2}^{1} \cdot C_{3}^{1} = 24$ ⋅𝐶12⋅𝐶13=24 种
情形四: 某二排相邻 2 个，共 $C_{4}^{2} \cdot C_{2}^{1} \cdot C_{2}^{1} = 24$ ⋅𝐶12⋅𝐶12=24 种

如图所示:

2024-01-22T00:16:14.png

从而所求概率为

<span id="MathJax-Span-73" class="mrow"><span id="MathJax-Span-74" class="mfrac"><span id="MathJax-Span-75" class="mrow"><span id="MathJax-Span-76" class="mn">36+216+24+24𝐶412=203336+216+24+24C124=2033

总共四个空座, 它们都不相邻的情形有三种:

情形一: 每排一个空座, 共 $3^{4} = 81$ =81种
情形二: 某一排有不相邻的两个空座, 另外两排各一个空座, 共 $C_{4}^{1} \cdot C_{3}^{2} \cdot 3^{2} = 108$ ⋅𝐶23⋅32=108种
情形三: 某两排各有不相邻的两个空座, 共 $C_{4}^{2} = 6$ =6种

三种情形如图所示:
2024-01-22T00:51:08.png

12个座位中任选4个的情形数是 $C_{12}^{4} = 495$ =495种, 从而至少一对空座相邻的概率是

<span id="MathJax-Span-136" class="mrow"><span id="MathJax-Span-137" class="mfrac"><span id="MathJax-Span-138" class="mrow"><span id="MathJax-Span-139" class="msubsup"><span id="MathJax-Span-140" class="mi">𝐶412−81−108−6𝐶412=300495=2033C124−81−108−6C124=300495=2033

posted @ 2025-01-20 12:14 kkman2000 阅读(135) 评论(0) 编辑收藏举报