【理解】导数和微分的关系，以及如何理解dy/dx 这个符号.

由微分的由来，函数的微分与函数的增量仅相差一个关于\(\Delta x\)的高阶无穷小量。也就是说可以认为\(f\)的微分是\(f\)的增量的一种近似.📧

\(\;\;\;\;\;\) 我们说的在某个点上可导等价于可微. 原因就在于，可导意味着可微（即有限增量公式）；可微直接给出了导数值.

本质上就是可微和可导的定义，这里还是介绍一下：
可微：\(\Delta y = A\Delta x +o(\Delta x)\)，其中取第一项即线性主部定义为\(f\)在\(x_0\)的微分，记作\(dy\big|_{x=x_0}\)

可导：$\Delta y = f'(x)\Delta x +o(\Delta x) $(这就是有限增量公式，它完全由导数在某点的定义推出，读者可自行证明，非常的简单.）
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这里回到为什么要写这篇随笔的主要原因，也就是为什么我要强调第一句，这其实就是微分的几何解释.

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现在我们再来看看为什么求导用\(\frac{dy}{dx}\).

同导函数的定义，从点可微出发，如果函数\(y= f(x)\)在某个区间上每一个点都可微，则称\(f(x)\)是这个区间上的可微函数，同时函数\(y=f(x)\)在这个区间上任一点\(x\)处的微分记为

\[dy=f'(x)\Delta x \, , x\in I \]

可以看到这个这个微分不仅取决于\(x\)，同时也取决于\(\Delta x\)（定义从上面的有限增量公式直接得到）.

注意看上面微分的定义，首先假设在\(I\)上每一点都是可微的，（自然每一点都是可导的）进而才能写出微分的具体形式，是关于增量\(\Delta x\)的一个线性函数.

依据这个，我们不难得出当

\[y = f(x) = x \]

我们有

\[dy = dx = \Delta x \]

所以说\(dx = \Delta x\)，这不是近似，这是严格成立的.

那么上述条件下的微分完全可以写作

\[dy = f'(x)dx \]

即函数的微分等于函数的导数和自变量的微分的积.
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同时我们也有

\[f'(x) =\frac{dy}{dx} \]

即函数的导数等于函数的微分与自变量的微分的商.因此导数也称为微商.（微分的商）现在完全可以把这种导数的书写形式认为是一个分式.

以上变量\(x\)和\(dx\)是独立的.这个认知很重要，这里不再展开.（高阶微分）