EOJ Monthly 2018.1 F 最小OR路径

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Description

给定一个有 $n$ 个点和 $m$ 条边的无向图，其中每一条边 $e_i$ 都有一个权值记为 $w_i$ 。

对于给出的两个点 $a$ 和 $b$ ，求一条 $a$ 到 $b$ 的路径，使得路径上的边权的 $OR$（位或）和最小，输出这个值。(也就是说，如果将路径看做边的集合 $\{e_1,e_2,…,e_k\}$，那么这条路径的代价为 $w_1\ OR\ w_2\ OR\ …\ OR\ w_k$，现在求一条路径使得其代价最小，输出这个代价。如果不存在这样的路径，输出 $-1$。

Input

Easy

$2\le n \le 10^4, 0 \le m \le 10^6, 0 \le c_i \le 2^{62}-1$

Hard

$2\le n \le 10^4, 0 \le m \le 10^6, 0 \le c_i \le 2^{62}-1$

题解 By zerol

Easy

$dp[u][k]$ 表示到结点 $u$ 的代价为 $k$ 的方案是否存在，然后在图上转移（dfs 一下就好了）。

Hard

假设答案的二进制位全是 $1$，然后从高位到低位考虑，如果将该位置为 $0$ 不破坏连通性的话就置为 $0$，这样肯定最优。
判断连通性可以用 并查集 或者 搜索，反正 $O(M)$ 就行。
复杂度 $O(63M)$ 。

对比

稍微回顾一下之前的 bzoj 2115 [Wc2011] Xor 路径最大异或和 线性基

共同点：从高位向低位做，判断当前位能否置为1或0（毕竟都是位运算）

不同点：
Xor那道题是预处理出来一条路径，以及所有可以补充于其上的路径。所以，判断能否置为1即是看能否添加这条路径。
而这道题，因为OR运算的性质，直观想来，添加的路径越少OR和就越小。所以，判断当前位能否置为0即是通过连通性来判断。

Code

Easy

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 1100
#define maxm 10010
using namespace std;
bool vis[maxn][maxn];
struct Edge { int to, ne, w; } edge[maxm << 1];
int tot, ne[maxn];
void add(int u, int v, int w) {
    edge[tot] = {v, ne[u], w};
    ne[u] = tot++;
}
typedef long long LL;
void dfs(int u, int ors) {
    if (vis[u][ors]) return;
    vis[u][ors] = true;
    for (int i = ne[u]; ~i; i = edge[i].ne) {
        int v = edge[i].to;
        dfs(v, ors | edge[i].w);
    }
}
int main() {
    memset(ne, -1, sizeof ne);
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n,&m);
    int u, v, w;
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        scanf("%d%d%d", &u,&v,&w);
        add(u,v,w); add(v, u, w);
    }
    scanf("%d%d", &u, &v);
    dfs(u, 0);
    for (int i = 0; i <= 1024; ++i) {
        if (vis[v][i]) { printf("%d\n", i); return 0; }
    }
    puts("-1");
    return 0;
}

Hard

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 10010
#define maxm 1000010
using namespace std;
typedef long long LL;
vector<int> a[maxn];
struct Edge { int u, v; } edge[maxm];
void add(LL w, int id) {
    int cnt = 0;
    while (w) {
        if (w & 1) a[cnt].push_back(id);
        w >>= 1, ++cnt;
    }
}
int s, t, n, m, fa[maxn], sz[maxn];
bool exc[maxm], flag[64];
int find(int x) { return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]); }
void unionn(int u, int v) {
    u = find(u), v = find(v);
    if (sz[u] < sz[v]) swap(u, v);
    sz[u] += sz[v], fa[v] = u;
}
bool ok(int id) {
    memset(exc, 0, sizeof exc);
    for (int i = 62; i >= id; --i) {
        if (!flag[i]) {
            for (auto x : a[i]) exc[x] = true;
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) fa[i] = i, sz[i] = 1;
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        if (!exc[i]) unionn(edge[i].u, edge[i].v);
    }
    return find(s) == find(t);
}
int main() {
    scanf("%d%d", &n,&m);
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        int u, v; LL w;
        scanf("%d%d%lld", &u,&v,&w);
        edge[i] = {u, v};
        add(w, i);
    }
    scanf("%d%d", &s, &t);
    if (!ok(64)) { puts("-1"); return 0; }
    LL ans = 0;
    for (int i = 62; i >= 0; --i) {
        ans <<= 1;
        if (!ok(i)) flag[i] = 1, ans |= 1;
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}