luogu 3708 koishi的数学题 递推 线性筛

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题意

输入一个整数\(n\)\((n\leq 1e6)\)，设\(f(x)=\sum_{i=1}^n x\mod i\)，你需要输出\(f(1),f(2)...,f(n)\).

输入输出格式

输入格式：

一个正整数n。

输出格式：

一行用空格分隔的n个整数\(f(1),f(2)...f(n)\).

输入输出样例

输入样例#1：

10

输出样例#1：

9 16 22 25 29 27 29 24 21 13

思路

列表

			\i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	x mod i\
x\
1				0	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2				0	0	2	2	2	2	2	2	2	2
3				0	1	0	3	3	3	3	3	3	3
4				0	0	1	0	4	4	4	4	4	4
5				0	1	2	1	0	5	5	5	5	5
6				0	0	0	2	1	0	6	6	6	6
7				0	1	1	3	2	1	0	7	7	7
8				0	0	2	0	3	2	1	0	8	8
9				0	1	0	1	4	3	2	1	0	9
10				0	0	1	2	0	4	3	2	1	0

递推

在已经算出了\(f(x)\)的基础上，怎么得到\(f(x+1)\)呢？

因为$$(x+1)\mod i = ((x\mod i)+1)\mod i=
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
(x\mod i)+1,&i\nmid (x+1)\cr
0, &i\mid (x+1)
\end{cases}
\end{eqnarray}$$

所以\(f(x+1)=f(x)+n-1-g(x+1)\)，\(n-1\)的含义为下一行比上一行每个多\(1\)，\(g(x+1)\)的含义为贡献本该算作\(0\)却算作了\(i\)因而多加了的部分，即\(\sum_{i\mid (x+1)}i\).

\(i=1\)的时候特殊处理一下。

线性筛

线性筛求一下约数和即可解决。

此处具体讲解可参见 积性函数的性质及证明 + 线性筛 ——Wubaizhe

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 1000010
using namespace std;
typedef long long LL;
int prime[maxn], mx[maxn], sum[maxn], n, tot;
LL d[maxn], ans[maxn];
bool vis[maxn];
void init() {
    d[1] = 0;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        if (!vis[i]) {
            prime[tot++] = i;
            d[i] = sum[i] = i+1;
            mx[i] = i;
        }
        for (int j = 0; j < tot; ++j) {
            if (prime[j] * i > n) break;
            vis[prime[j] * i] = true;
            if (i % prime[j] == 0) {
                mx[i * prime[j]] = mx[i] * prime[j];
                sum[i * prime[j]] = sum[i] + mx[i * prime[j]];
                d[i * prime[j]] = d[i] / sum[i] * sum[i * prime[j]];
                break;
            }
            mx[i * prime[j]] = prime[j];
            sum[i * prime[j]] = prime[j] + 1;
            d[i * prime[j]] = d[i] * d[prime[j]];
        }
    }
    for (int i = 2; i <= n; ++i) --d[i];
}
int main() {
    scanf("%d", &n);
    init();
    ans[1] = n-1; printf("%lld", ans[1]);
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        ans[i] = ans[i-1] + n-1 - d[i];
        printf(" %lld", ans[i]);
    }
    printf("\n");
    return 0;
}