【线段树】树套树 树状数组套主席树
树状数组套主席树
（其实是树状数组套动态开点权值线段树
作用:
即动态主席树，动态(带修)查询区间 \(k\) 小(大)值
做法：
回顾主席树：简单来说主席树在查询时 是查询 \(T[r]-T[l-1]\) 区间的值的，建立是 \(T[i+1]\) 在 \(T[i]\) 的基础上建立的。用于静态查询区间 \(k\) 小(大)值。
而带修主席树，因为修改，所以在 \(T[i]\) 基础上建 \(T[i+1]\) 并不合适。
主席树的思想是减去区间的前缀和求差，此时带修主席树依旧是考虑维护前缀和，然而因为带修，所以主席树各版本之间的强关联性并不适合修改，此时再建立主席树不再需要对线段树进行可持久化，只需动态开点建权值线段树。
考虑用树状数组维护前缀和，及对树状数组每个 \(lowbit\) 的点（ \(logn\) 个）建立动态开点权值线段树，
在修改数组 \(x\) 位置时，则是对树状数组 \(for( ;x<=n;x+=lowbit(x))\) 上各点的权值线段树进行修改；
在查询数组区间 \([l,r]\) 第 \(k\) 小(大)值时，则是对树状数组 \(for(i=r;i;i-=lowbit(i))\) 以及 \(for(i=l-1;i;i-=lowbit(i))\) 在线段树当前区间的相应各点上的值差 进行线段树的二分查询（详见模板）。
例题：
模板题，带修查询区间k小值：
给定一个含有 \(n\) 个数的序列 \(a_1,a_2 \dots a_n\)，有 \(m\) 个操作，需要支持两种操作：
Q l r k表示查询下标在区间 \([l,r]\) 中的第 \(k\) 小的数C x y表示将 \(a_x\) 改为 \(y\)
\(1\le n,m \le 10^5\)， \(1 \le l \le r \le n\) ，\(1 \le k \le r-l+1\) ，\(1\le x \le n\) ，\(0 \le a_i,y \le 10^9\) 。
\(code:\)
#include<bits/stdc++.h>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+9;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int maxn=2e5+5;
const double ep=1e-6;
void read(int&x)
{
char c;
while(!isdigit(c=getchar()));x=c-'0';
while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0';
}
//P2617
int n,cnt;
int h[maxn];
inline int id(int x){
return lower_bound(h+1,h+1+cnt,x)-h;
}
struct Q{
int a,b,c;
}q[maxn];
//树状数组套主席树(其实是套动态开点权值线段树
//对树状数组每个节点建权值线段树
struct Tr{
// <<8 是因为log*log
// maxn=2e5是因为权值包括数组的n个权值 以及q的m个权值 maxn=n+m
int T[maxn],L[maxn<<8],R[maxn<<8],sum[maxn<<8],tot=0;
void supdate(int &rt,int l,int r,int x,int v)//线段树
{
if(!rt)rt=++tot;
sum[rt]+=v;
if(l==r)return;
int mid=(l+r)>>1;
if(x<=mid)supdate(L[rt],l,mid,x,v);
else supdate(R[rt],mid+1,r,x,v);
}
void update(int x,int vx,int v)//树状数组 x是数组位置,vx是权值位置 v是+1 ,-1这样子
{
for(;x<=n;x+=x&-x)supdate(T[x],1,cnt,vx,v);
}
//求区间第k小
int qr[maxn],ql[maxn],cntl,cntr;
void pre_query(int x,int q[],int&cnt){
for(cnt=0;x;x-=x&-x)q[++cnt]=T[x];
}
//l,r是二分线权值段树 k是区间第k小的k
//l和r是权值区间,数组区间是在树状数组上分的 就是lowbit部分那里处理判断数组区间
int query(int l,int r,int k)//qury(T[qR],T[qL-1],l,r,k) 提前记录log个节点T[qR]及T[qL-1]在q[]处
{
if(l==r)return l;
int mid=(l+r)>>1,num=0;
for(int i=1;i<=cntr;i++)num+=sum[L[qr[i]]];
for(int i=1;i<=cntl;i++)num-=sum[L[ql[i]]];//其实就是num=L[rt]-L[pre]
if(num>=k)
{
for(int i=1;i<=cntr;i++)qr[i]=L[qr[i]];
for(int i=1;i<=cntl;i++)ql[i]=L[ql[i]];
return query(l,mid,k);//相当于 query(L[rt],L[pre],l,mid,k); 因为要记录树状数组节点 所以得提前记录
}else{
for(int i=1;i<=cntr;i++)qr[i]=R[qr[i]];
for(int i=1;i<=cntl;i++)ql[i]=R[ql[i]];
return query(mid+1,r,k-num);//query(R[rt],R[pre],mid+1,r,k-num);
}
}
}tr;
int a[maxn];
char op[2];
int main()
{
int m;
read(n);read(m);
for(int i=1;i<=n;i++)read(a[i]),h[++cnt]=a[i];
int l,r,k,x,y;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%s",op);
if(op[0]=='Q'){
read(l);read(r);read(k);
q[i]={l,r,k};
}else{
read(x);read(y);h[++cnt]=y;
q[i]={x,y,0};
}
}
sort(h+1,h+1+cnt);
cnt=unique(h+1,h+1+cnt)-h-1;
for(int i=1;i<=n;i++)tr.update(i,id(a[i]),1);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
if(q[i].c){
l=q[i].a;r=q[i].b;k=q[i].c;
tr.pre_query(r,tr.qr,tr.cntr);
tr.pre_query(l-1,tr.ql,tr.cntl);
printf("%d\n",h[tr.query(1,cnt,k)]);
}else{
x=q[i].a;y=q[i].b;
tr.update(x,id(a[x]),-1);a[x]=y;
tr.update(x,id(a[x]),1);
}
}
}
