【树】【积累】【题解】Count on a Tree
2020 Multi-University Training Contest 2 Count on a Tree II Striking Back
题意：
一棵含 \(n\) 个点的树，树上每个点都有颜色，m个操作，有两种：
\(1\,x\,y\) ：将节点x的颜色设置为 \(y\)
\(2\,a\,b\,c\,d\) ：定义 \(f(u,v)\) 表示链 \(u,v\) 上包含不同颜色的个数，询问是否 \(f(a,b)>f(c,d)\)。
保证询问时有 \(f(a,b)\ge2f(c,d)\) 或 \(f(c,d)\ge2f(a,b)\) 。
其中 \(1\le n\le500000,1\le m\le10000,1\le col_i\le n,1\le T\le4\)。
官方题解：
有结论：\(k\) 个 \([1,0]\) 的随机实数的最小值的期望为 \(\frac{1}{k+1}\) 。对于一个大小为 \(k\) 的集合，如果给每个元素随机一个正整数，那么多次采样得到的平均最小值越小就说明k的值越大。
回到本题：进行 \(k\) 次采样，每次采样时对每种颜色随机一个正整数，令每个点的点权为其颜色对应的随机数，然后统计询问的树链上点权的最小值，将 \(k\) 次采样的结果相加以粗略比较两条树链的颜色数的大小，因为不要求精确值所以 \(k\) 取几十即可得到正确结果。
使用树链剖分+线段树的时间复杂度为 \(\mathcal{O(nk+mklog^2n)}\) ，使用全局平衡二叉树可以左到 \(\mathcal{O(nk+mklogn)}\)。
个人代码：
树剖：1653MS
#pragma GCC optimize(2)
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned int U;
const int mod=998244353;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int maxn=500005;
const int N=30;
char buf[1<<20],*P1=buf,*P2=buf;
#define gc() (P1==P2&&(P2=(P1=buf)+fread(buf,1,1<<20,stdin),P1==P2)?EOF:*P1++)
#define TT template<class T>inline
TT void read(T&x){
x=0;register char c=gc();register bool f=0;
while(c<48||c>57){f^=c=='-',c=gc();}
while(47<c&&c<58)x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=gc();
if(f)x=-x;
}
int i,j;
int head[maxn],to[maxn<<1],nxt[maxn<<1],ect;
inline void addedge(int u,int v){
to[++ect]=v;nxt[ect]=head[u];head[u]=ect;
}
int siz[maxn],dep[maxn],fad[maxn],son[maxn];
int top[maxn],tid[maxn],rnk[maxn],cnt;
void dfs1(int u,int fa)
{
dep[u]=dep[fa]+1,fad[u]=fa,siz[u]=1;
for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
if(to[i]!=fa)
{
dfs1(to[i],u);
siz[u]+=siz[to[i]];
if(siz[to[i]]>siz[son[u]])son[u]=to[i];
}
}
void dfs2(int u,int t)
{
top[u]=t;rnk[tid[u]=++cnt]=u;
if(!son[u])return;
dfs2(son[u],t);
for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
if(to[i]!=son[u]&&to[i]!=fad[u])
dfs2(to[i],to[i]);
}
int n,col[maxn];
U rc[maxn][N],mi[maxn<<2][N];
void build(int k,int l,int r)
{
if(l==r){
int c=col[rnk[l]];
for(i=0;i<N;i++)
mi[k][i]=rc[c][i];
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
build(k<<1,l,mid),build(k<<1|1,mid+1,r);
for(i=0;i<N;i++)
mi[k][i]=min(mi[k<<1][i],mi[k<<1|1][i]);
}
void update(int k,int l,int r,int x)
{
if(l==r){
int c=col[rnk[l]];
for(i=0;i<N;i++)
mi[k][i]=rc[c][i];
return ;
}
int mid=(l+r)>>1;
if(x<=mid)update(k<<1,l,mid,x);
else update(k<<1|1,mid+1,r,x);
for(i=0;i<N;i++)
mi[k][i]=min(mi[k<<1][i],mi[k<<1|1][i]);
}
U tmp[N];
void query(int k,int l,int r,int L,int R)
{
if(L<=l&&r<=R){
for(i=0;i<N;i++)tmp[i]=min(tmp[i],mi[k][i]);
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
if(L<=mid)query(k<<1,l,mid,L,R);
if(R>mid)query(k<<1|1,mid+1,r,L,R);
}
inline ll trquery(int u,int v)
{
for(i=0;i<N;i++)tmp[i]=inf;
while(top[u]!=top[v])
{
if(dep[top[u]]<dep[top[v]])swap(u,v);
query(1,1,n,tid[top[u]],tid[u]);
u=fad[top[u]];
}
if(dep[u]>dep[v])swap(u,v);
query(1,1,n,tid[u],tid[v]);
ll sum=0;
for(i=0;i<N;i++)sum+=tmp[i];
return sum;
}
mt19937 mt(time(0));
int main()
{
// freopen("C:\\Users\\admin\\Desktop\\tmp\\1003.in","r",stdin);
// freopen("C:\\Users\\admin\\Desktop\\tmp\\1003out.txt","w",stdout);
for(i=0;i<maxn;i++)
for(j=0;j<N;j++)rc[i][j]=mt();
int T,m,ans,op,x,y,z,w;ll sum1,sum2;
read(T);
while(T--)
{
ans=0;
read(n);read(m);
for(i=ect=cnt=0;i<=n;i++)head[i]=fad[i]=dep[i]=son[i]=siz[i]=0;
for(i=1;i<=n;i++)read(col[i]);
for(i=1;i<n;i++)
{
read(x);read(y);
addedge(x,y);addedge(y,x);
}
dfs1(1,0);dfs2(1,1);
build(1,1,n);
while(m--)
{
read(op);read(x);read(y);
x^=ans,y^=ans;
if(op==1){
col[x]=y;
update(1,1,n,tid[x]);
}else{
read(z);read(w);
z^=ans,w^=ans;
sum1=trquery(x,y),sum2=trquery(z,w);
if(sum1<sum2){
puts("Yes");ans++;
}
else puts("No");
}
}
}
}
全局平衡二叉树：超时（处理不好 或者 常数过大
//#pragma GCC optimize(2)
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<ctime>
#define min(a,b) (a)<(b)?(a):(b)
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=5e5+5;
char buf[1<<20],*P1=buf,*P2=buf;
#define gc() (P1==P2&&(P2=(P1=buf)+fread(buf,1,1<<20,stdin),P1==P2)?EOF:*P1++)
#define TT template<class T>inline
TT void read(T&x){
x=0;register char c=gc();register bool f=0;
while(c<48||c>57){f^=c=='-',c=gc();}
while(47<c&&c<58)x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=gc();
if(f)x=-x;
}
int to[maxn<<1],nxt[maxn<<1];
int head[maxn],ecnt;
inline void addedge(int u,int v)
{
to[++ecnt]=v;nxt[ecnt]=head[u];
head[u]=ecnt;
}
int depth[maxn<<1],id[maxn],rid[maxn<<1],cnt,st[maxn<<1][25];
void dfs(int u,int f,int d)
{
id[u]=++cnt;rid[cnt]=u;depth[cnt]=d;
for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
if(to[i]!=f){
dfs(to[i],u,d+1);
rid[++cnt]=u;depth[cnt]=d;
}
}
int lg[maxn<<1];
void init()
{
lg[0]=-1;
for(int i=1;i<=cnt;i++)lg[i]=lg[i>>1]+1;
for(int i=1;i<=cnt;i++)st[i][0]=i;
for(int j=1;(1<<j)<=cnt;j++)
for(int i=1;i+(1<<j)-1<=cnt;i++)
st[i][j]=depth[st[i][j-1]]<depth[st[i+(1<<j-1)][j-1]]?
st[i][j-1]:
st[i+(1<<j-1)][j-1];
}
inline int lca(int u,int v)
{
if(id[u]>id[v])swap(u,v);
int s=id[u],t=id[v],len=lg[t-s+1];
return depth[st[s][len]]<depth[st[t-(1<<len)+1][len]]?rid[st[s][len]]:rid[st[t-(1<<len)+1][len]];
}
inline int dis(int u,int v){
return depth[id[u]]+depth[id[v]]-(depth[id[lca(u,v)]]<<1);
}
//gbbt
int siz[maxn],lsiz[maxn],son[maxn];
void dfs1(int u,int f)//处理son和lsiz 的信息
{
siz[u]=1;
for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
if(to[i]!=f){
dfs1(to[i],u);
siz[u]+=siz[to[i]];
if(siz[to[i]]>siz[son[u]])son[u]=to[i];
}
lsiz[u]=siz[u]-siz[son[u]];
}
int col[maxn];
int tfa[maxn],ch[maxn][2];
const int N=30;
unsigned int mi[maxn][N],val[maxn][N];
inline void update(int u){
for(int i=0;i<N;i++){
mi[u][i]=val[col[u]][i];
if(ch[u][0])mi[u][i]=min(mi[u][i],mi[ch[u][0]][i]);
if(ch[u][1])mi[u][i]=min(mi[u][i],mi[ch[u][1]][i]);
}
}
inline int getson(int x){return (ch[tfa[x]][1]==x)?1:((ch[tfa[x]][0]==x)?0:-1);}
void pushup(int u){
update(u);
if(getson(u)!=-1)pushup(tfa[u]);
}
int si[maxn],tot;ll vsi[maxn];
int dep[maxn];bool vis[maxn];
int sbuild(int l,int r,int d)
{
if(l>r)return 0;
int mid=lower_bound(vsi+l,vsi+r+1,vsi[r]+vsi[l-1]>>1)-vsi;
int u=si[mid];dep[u]=d;
if(ch[u][0]=sbuild(l,mid-1,d+1))tfa[ch[u][0]]=u;
if(ch[u][1]=sbuild(mid+1,r,d+1))tfa[ch[u][1]]=u;
update(u);
return u;
}
int build(int u,int d)
{
int pos;
for(pos=u,tot=0;pos;pos=son[pos]){
si[++tot]=pos;vsi[tot]=vsi[tot-1]+lsiz[pos];
vis[pos]=1;
}
int rt=sbuild(1,tot,d);
for(pos=u;pos;pos=son[pos])
for(int i=head[pos];i;i=nxt[i])
if(!vis[to[i]])
tfa[build(to[i],dep[pos]+1)]=pos;
return rt;
}
inline bool online(int u,int v,int po){
return dis(u,po)+dis(v,po)==dis(u,v);
}
unsigned int tmp[N];
ll cal(int u,int v)
{
int x,pu=u,pv=v;bool juu=1,juv=1,fju;
for(int i=0;i<N;i++)tmp[i]=min(val[col[u]][i],val[col[v]][i]);
while(u!=v)
{
if(dep[u]<dep[v])swap(u,v),swap(juu,juv);//dep u > dep v
x=getson(u);
fju=online(pu,pv,tfa[u]);
if(!fju){
if(juu&&ch[u][x]){
for(int i=0;i<N;i++)
tmp[i]=min(tmp[i],mi[ch[u][x]][i]);
}
}else{
if(juu&&x==-1&&ch[u][0]){
for(int i=0;i<N;i++)
tmp[i]=min(tmp[i],mi[ch[u][0]][i]);
}
else if(juu&&x!=-1&&ch[u][x^1]){
x^=1;
for(int i=0;i<N;i++)
tmp[i]=min(tmp[i],mi[ch[u][x]][i]);
}
for(int i=0;i<N;i++)
tmp[i]=min(tmp[i],val[col[tfa[u]]][i]);
}
juu=fju;u=tfa[u];
}
ll sum=0;
for(int i=0;i<N;i++)sum+=tmp[i];
return sum;
}
mt19937 mt(time(0));
int main()
{
// freopen("C:\\Users\\admin\\Desktop\\tmp\\1003.in","r",stdin);
// freopen("C:\\Users\\admin\\Desktop\\tmp\\1003out.txt","w",stdout);
for(int i=0;i<maxn;i++)
for(int j=0;j<N;j++)val[i][j]=mt();
int T;
read(T);
while(T--)
{
int n,m,u,v,rt,lans=0;
read(n);read(m);
for(int i=tot=ecnt=cnt=0;i<=n;i++)
vis[i]=vsi[i]=head[i]=dep[i]=tfa[i]=son[i]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)read(col[i]);
for(int i=1;i<n;i++)
{
read(u);read(v);
addedge(u,v);addedge(v,u);
}
dfs(1,0,0);init();dfs1(1,0);build(1,1);
int op,x,y;ll sum1,sum2;
while(m--)
{
read(op);read(x);read(y);
if(op==1){
x^=lans;y^=lans;
col[x]=y;pushup(x);
}else if(op==2){
read(u);read(v);
x^=lans;y^=lans;u^=lans;v^=lans;
sum1=cal(x,y);
sum2=cal(u,v);
if(sum1<sum2)puts("Yes"),lans++;
else puts("No");
}
}
}
}
