（原创）Dijkstra算法——方法（一）

算法原理步骤如下：

1、初使时令 S={V0},T={其余顶点}T中顶点对应的距离值   

     若存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)为<V0,Vi>弧上的权值   

     若不存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)为 ∞   

2、从T中选取一个其距离值为最小的顶点W且不在S中，加入S    

3、对T中顶点的距离值进行修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的距离值比不加W的路径要短，则修改此距离值  

重复上述步骤2、3，直到S中包含所有顶点，即S=T为止 

 

说明：以下算法是给定起点与目的节点的最短路径

 

最短路函数部分：

 

function [l,t]=minPath(A,v)

  % 函数说明如下：

  % [l,t]=minPath(A,v)   Dijkstra算法

  % A为图中顶点的邻接矩阵，矩阵中的值表示两点之间的权值；

  % 如：A =

 

%        Inf       Inf       Inf    1.2000    9.2000       Inf    0.5000

%        Inf       Inf       Inf    5.0000       Inf    3.1000    2.0000

%        Inf       Inf       Inf       Inf       Inf    4.0000    1.5000

%     1.2000    5.0000       Inf       Inf    6.7000       Inf       Inf

%     9.2000       Inf       Inf    6.7000       Inf   15.6000       Inf

%        Inf    3.1000    4.0000       Inf   15.6000       Inf       Inf

%     0.5000    2.0000    1.5000       Inf       Inf       Inf       Inf

 

 %  v表示源节点（起始点）

 % l 存放源节点到其他各点的最短距离

 % t 存放当前节点的最短路径上的前一节点

    

  

n=length(A);%顶点个数

V=1:n;%顶点集合

s=v;%已经找到最短路的点集，初始为v，即源节点

l=A(v,:);%源节点到其他个点的初始距离，即为矩阵A中源节点所在行

t=v.*ones(1,n);%定义每一个节点的初始时的上一节点都为源节点

ss=setdiff(V,s); %setdif（A,B）函数功能是返回值为A中有，B中没有的值，且按升序排列返回。这里返回除源节点意外的所有节点的集合

nn=length(ss);%ss为还没有找到最短路的点集（即源节点以外的所有点的个数）

 

for j=1:n-1%一共进行n-1次循环（原因是去掉源节点）

    k=ss(1);

    for i=1:nn%对还没有找到最短路的点

       if l(k)>l(ss(i))

          k=ss(i);

          l(k)=l(ss(i));%在当前一行距离中取最小值

       end

    end

    if l(k)==inf%如果当前行最小值是无穷大，则结束

       break;

    else %否则k点的最短路找到

        s=union(s,k); %函数union(A, B) 返回矢量A与B的并集，A与B必须是数字，结果是排序的

        ss=setdiff(V,s);

        nn=length(ss);

    end

    if length(s)==n%全部点的最短路都找到

       break;

    else 

        for i=1:nn%以k为生长点，如果通过k点会更短，则更改当前最短距离

            if l(ss(i))>l(k)+A(k,ss(i))

               l(ss(i))=l(k)+A(k,ss(i));

               t(ss(i))=k;  

            end

        end

    end

end

 

主函数部分：

 

   clear;

   w=inf*ones(7);

   w(1,7)=0.5;w(1,4)=1.2;w(1,5)=9.2;

   w(2,7)=2;w(2,4)=5;w(2,6)=3.1;

   w(3,7)=1.5;w(3,6)=4;w(4,2)=5;

   w(4,1)=1.2;w(4,5)=6.7;

   w(5,1)=9.2; w(5,6)=15.6; w(5,4)=6.7;

   w(6,2)=3.1;w(6,3)=4;w(6,5)=15.6; 

   w(7,1)=0.5;w(7,2)=2;w(7,3)=1.5; 

   [l,t]=minPath(w,7)

  

   % 如果想更清楚的观看点v到点vv的最短距离与路径可用下面小程序：

    v=7;%注：这里的v要与上面的v一致(源节点)

    vv=4; % vv为目的节点

    k=vv;

    tt=vv;

    while(1)

      if k==v

         tt %若下面的tt=[tt,k],则路径为：vv <--...<-- v；若下面的 tt=[k,tt]，则路径为v—>...—>vv

         l(vv) %距离

        break;

      else

         k=t(k);

         tt=[tt,k]; % 路径：目的节点——>源节点

         tt=[k,tt];  % 路径：源节点——>目的节点

      end

    end