Luogu P1020 导弹拦截

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最多能拦截的导弹数为最长不上升子序列的长度

根据$dilworth$定理(偏序集所能划分成的最少的全序集的个数等于最大反链的元素个数）可以得到第二问的答案就是最长上升子序列的长度。

$ n \le 100000 $ 因此$O(n^{2})$的算法不能得全分，这里讲解$O(nlog{n})$的算法。

假设我们要求某序列的最长不上升子序列的长度。

我们设置两个数组，$a$与$c$，$a[i]$代表序列的第$i$个元素，$c[i]$表示长度为$i$的不上升子序列的最后一位的最大值。

再设置一个变量$len$，为$c$数组的长度。

从1到$n$扫描数组$a$

检查$a[i]$是否小于等于$c[len]$，如果是，则$c[++len] = a[i]$

如果否，那么寻找$c$中第一个小于$a[i]$的数，并将其替换成$a[i]$。
如果按照朴素的查找方法，寻找第一个小于$a[i]$的数所需时间复杂度为$O(n)$，这样算法整体复杂度仍为$O(n^2)$，我们需要对其进行优化。

我们会发现，因为我们找的是第一个小于$a[i]$的数，因此$c$数组是满足二分性的，可以使用二分查找。这样一次查找的时间复杂度就降为了$O(log{n})$，整体的时间复杂度为$O(nlog{n})$。

我们要尽可能让每一个$c[i]$尽量大，因为不下降子序列的最后一位越大，后面能选择的数就越多。

 

函数lower_bound upper_bound

lower_bound与upper_bound的作用就是二分查找，lower_bound可以找到第一个大于等于某个数的数，upper_bound可以找到第一个大于某个数的数，她们的返回值为查找到的数的指针，如需获得这个数的位置，可以用获得的指针减去数组开头的指针。如需获得这个数，直接设置一个指针存下来就行

$eg:$
我们要在数组$b$中找到第一个大于等于$x$的数$p$。($b$的长度为$m$)

*p = lower_bound(b,b + m,x);

则$*p$就是这个数

p = lower_bound(b,b + m,x) - b;

则$b[p]$就是这个数。

upper_bound的使用方法同上

注意，lower_bound和upper_bound只能在升序序列里使用。

那么我们想要在一个降序序列里找到第一个小于等于或小于$x$的数该怎么办呢？
我们可以修改一下lower_bound或upper_bound，加上$cmp$函数，或使用$greater<int>()$

$eg:$

*p = lower_bound(b,b + m,x,greater<int>);
  
  
bool cmp(const int& a,const int& b) {
      return a > b;
}

*p = lower_bound(b,b + m,x,cmp);

 

$Code:$

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int MAXN = 100010;

int len1,len2,n;
int a[MAXN],f1[MAXN],f2[MAXN];

int main() {
    while(cin >> a[++n]);n--;
    len1 = len2 = 1;
    f1[1] = f2[1] = a[1];
    for(int i = 2; i <= n; i++) {
        if(a[i] <= f1[len1]) {
            f1[++len1] = a[i];
        }
        else {
            int p = upper_bound(f1 + 1,f1 + len1 + 1,a[i],greater<int>()) - f1;
            f1[p] = a[i];
        }
        if(a[i] > f2[len2]) {
            f2[++len2] = a[i];
        }
        else {
            int p = lower_bound(f2 + 1,f2 + len2 + 1,a[i]) - f2;
            f2[p] = a[i];
        }
    }
    cout << len1 << endl << len2 << endl;
    return 0;
}