矩阵链乘法

 

1.     问题

设A1，A2，….，An为n个矩阵的序列，其中Ai为Pi-1 * Pi阶矩阵，这个矩阵链的输入用向量P=<P0,P1,…,Pn>给出.

       给定向量P，确定一种乘法次序，使得基本运算的总次数达到最小。

2.     解析

这道题可以用枚举法:

       枚举所有可能的乘法次序，针对每种次序计算基本运算的次数，从中找出具有最小运算次数的乘法次序，每一种乘法次序对应了一种在n个项中加n-1对括号。

也可以用动态规范：

       Ai~j：表示矩阵链相乘的子问题：Ai，A+1，…Aj;

       m[i,j]：表示得到乘积Ai-j所用的最少基本运算次数。

       转移方程为

 

命题m[i..j]=min{m[i,k]+m[k+1,j]+Pi=1PkPj}满足优化原则，即m[i..j]最小值时，m[i,k]和m[k+1,j]也是最小的

3.     设计

递归函数：

void PrintAnswer(int(*s)[N],int i,int j)

{

    if(i==j)

    {

        cout<<"A"<<i;

    }

    else

    {

        cout<<"(";

        PrintAnswer(s,i,s[i][j]);

        PrintAnswer(s,s[i][j]+1,j);

        cout<<")";

    }

}

       Dp函数：

              void MatrixChainOrder(int *p,int (*m)[N],int (*s)[N],int length)

{

    int n=length-1;

    int l,i,j,k,q=0;

    //m[i][i]只有一个矩阵，所以相乘次数为0，即m[i][i]=0;

    for(i=1;i<length;i++)

    {

        m[i][i]=0;

    }

    //l表示矩阵链的长度

    // l=2时，计算 m[i,i+1],i=1,2,...,n-1 (长度l=2的链的最小代价)

    for(l=2;l<=n;l++)

    {

        for(i=1;i<=n-l+1;i++)

        {

            j=i+l-1; //以i为起始位置，j为长度为l的链的末位，

            m[i][j]=0x7fffffff;

            //k从i到j-1,以k为位置划分

            for(k=i;k<=j-1;k++)

            {

                q=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];

                if(q<m[i][j])

                {

                    m[i][j]=q;

                    s[i][j]=k;

                }

            }

        }

    }

    cout << m[1][N-1] << endl;

}

4.     分析

样例推导：

 

递归算法分析：

 

迭代算法 O(n^3);

5.     源码

kitalekita/矩阵链乘法.cpp at main · kitalekita/kitalekita (github.com)