小凯的疑惑题解

小凯的疑惑题解

傻子都能看懂

• 因为题目说$a, b$都是正整数并且互素，所以易得

$$a \le 1, b \le 1, gcd(a, b) == 1$$

所以我们设置可以被表示出来的数为$\varphi$

$$\varphi = ma + nb (m \ge 0 , n \ge 0)$$

我们设$k$为答案,因为$k$不能被表示出来，所以
$k = ma + nb (m < 0 \ or \ n < 0)$
因为$k$是最大的，所以$k + a$是一定能被表示出来的，否则答案就是$k + a$了
所以

$$k + a = ma + nb(m \ge 0 , n \ge 0)$$

移项得

$$k = (m - 1)a + nb(m \ge 0 , n \ge 0)$$

因为$k$不能被表示出来，同时$k + a$能被表示出来，所以$n \ge 0$那么$m - 1 \le 0$，因为$m \ge 0$所以$m = 0$
所以得到

$$k = nb - a$$

我们设$n = a + x(x \ge -a)$因为($n \ge 0$)
所以有

$$k = (a + x)b - a$$

$$k = (b - 1)a + xb$$

因为$b - 1 \ge 0$($b \ge 1$)
所以只有让$x < 0$才能满足$k$无法被表示
又因为$k$要最大,所以要让$x$减的尽量少，所以令$x = -1$
得到

$$k = ab -a -b$$

这个人类智慧结晶..................