KMP复习 + AC自动机

前言#

因为学AC自动机，所以来复习trie树和KMP
看到了一篇讲的很好的文章，就一时兴起，写写KMP咯

here

KMP部分#

前置芝士#

求解问题#

• 在一个文本串S中查找一个模式串t的出现位置

• 也可以引申为求t在s中的出现次数

暴力解法#

• 每次i回溯到之前匹配的开头后一位，会导致许多次不必要的重复的匹配，所以有一个很尴尬的时间复杂度，极其不推荐，当然除了你啥也不会了，能拿分就尽量拿吧

KMP数组介绍#

• next[i] : 代表当前字符下标以前的字符串中，前缀和后缀相同的最长长度；

• next 数组相当于告诉我们：当模式串中的某个字符跟文本串中的某个字符匹配失配时，模式串下一步应该跳到哪个位置。避免像暴力一样尴尬地瞎pp
  eg : ABCDAB 
      从0作为下标开始
      next[6] = 2代表下标为0 ~ 5中最长的    
      相等的前后缀长度为2(就是AB);
   

• next求法

  首先，蓝书上有对于next[i - 1]的“候选项”为next[i - 1] + 1 或者 next[next[i - 1]]等等有着详细的介绍和解释，我就不多说了(才不是因为我懒)
  因为我从0开始存字符，所以我的j又是长度又是下一个该匹配字符的下标
  eg : ABACKWABAD 
       next[8] = 2（即是AB）
       同时对于next[9]也该从下标为2的A处继续匹配，并继承next[8]
  如果失配了，就一直去找更次的“候选项”，就是next[next[i - 1]]等等
  跳出之后判一下下一位(下标就是j所以不用加1)可不可以计入
             对于结束的while循环，或者匹配成功，或者j = 0 
             1.   如果匹配成功，则有s[i] == s[j],nxt[i] = j + 1
             2.   如果j = 0, 则有 nxt[i] = (s[i] == s[j])

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  void get_nxt(const char s[]) {
	int len = strlen(s);
	nxt [0] = 0;
	for(int i = 1; i < len; i ++) {
		//下标从0开始, 那么j既是真前后缀的长度，也是下一个该匹配的字符的下标,多循环了一位，从1开始
		 int j = nxt[i - 1];
		 while(j > 0 && s[i] != s[j])  {j = nxt[j - 1];}//不配，去找次长
		 if(s[i] == s[j]) ++j;
		 nxt[i] = j;//j = 0 | j = 1 | j = k + 1
		  
	}
}

• 也给出一个从1开始存的

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void get_nxt(const char s[]) {
    int len = strlen(s + 1);
    nxt[1] = 0;
    for(int i = 2, j = 0; i <= len; i ++) {
      while(j && s[i] != s[j + 1])j = nxt[j];
       if(s[i] == s[j + 1])nxt[i] = ++j;
       else nxt[i] = 0;
    }
}

KMP进行中#

• 分别给出从1和从0开始存的代码，可以自己看一下下标的区别

code展示#

• 出现次数，从0开始存

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int num_match(char s[], char t[]) {	//text串和s串
	int n = strlen(s);
	int m = strlen(t);
	for(int i = 0, j = 0; i < m; i ++) {
		while(j > 0 && t[i] != s[j]) j = nxt[j - 1];
		if(t[i] == s[j])++j;
		if(j == n) {
			++ans;
			j = nxt[j - 1];
		}
	} 
	return ans;
}

• 有没有出现过（从1开始存）

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int match(char s[], char t[]) {
    int m = strlen(s + 1);
    int n = strlen(t + 1);
    for (int i = 1, j = 0; i <= n; ++i) {
      while (j && t[i] != s[j + 1]) j = next[j];
      if (t[i] == s[j + 1]) ++j;
      if (j == m) return i - j + 1;
     }
} 

• 代码解释

  对于（j == n）是判断有没有重叠的部分
  其他的跟暴力没啥区别，就是加了个next的挂，然后他就起飞了，哎，有挂的算法就是强

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AC自动机部分、#

没错，它不仅不能让你AC还能让你自动WA#

概念明析#

• 自动机 : 一个自动机M ，若它能识别（接受）字符串 ，那么M(S) = True，否则M(s) =
  False 。（比如有Trie树，回文自动机，后缀自动机，子序列自动机，KMP自动机（除了Trie树全不会咋整））
• AC(其实它是人名...) : 当一个自动机读入一个字符串时，从根节点起按照转移函数一个一个字符
  地转移。如果读入完一个字符串的所有字符后处于一个接受状态(可以被匹配)，那么我们称这个自动
  机接受（AC）这个字符串，否则称这个自动机 不接受这个字符串。
• 它是AC自动机，不是自动AC机！

原理#

• 以Trie的结构为基础 ，结合KMP的思想

步骤#

• 将所有的模式串构成一棵Trie
• 对Trie树上所有的结点构造失配指针

求解问题#

• 进行多模式匹配，一个S串跟一坨t串匹配(毕竟一个一个KMP那不就$n^{2}$过百万了)

各种解释#

• 最初建起的Trie树就是最普通的Trie树，你之前怎么写现在就怎么写就行

• 对于Trie的结点含义 : 表示某个模式串的前缀，也可以叫做状态，一个不同的节点表示不同的状态，Trie的边就是状态的转移

• 失配指针fail :

  • 与next的对比

    • 共同点 ： 两者同样是在失配的时候用于跳转的指针。
    • 不同点 ： KMP要求的是前后缀相等的最长，而AC自动机只需要相同后缀即可。
      （因为KMP只对一个模式串做匹配，而AC自动机要对多个模式串做匹配）
    • 有可能fail 指针指向的结点对应着另一个模式串，两者前缀不同。也就是说，AC自动机在对匹配串做逐位匹配时，同一位上可能匹配多个模式串。因此fail指针会在字典树上的结点来回穿梭，而不像KMP在线性结构上跳转。

  • 对于fail的理解

    • fail[i]为与以i节点为结尾的串的后缀有最大公共长度的前缀的结尾编号

• num指以当前子母为末尾的单词个数

Code时间#

• 建树，就是普普通通的Trie树

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struct Trie {
		int fail;//失配
		int num;//有几个字串以当前字母作为结尾
		int ch[28];//子节点位置
	   }tr[maxn];//tri树
	   fuc(void, build) (string s) {
		int len = s.length();
		int now = 0;
		for (Re i = 0; i < len; i++) {//没有当前节点
			int tmp = s[i] - 'a';
			if (tr[now].ch[tmp] == 0)tr[now].ch[tmp] = ++cnt;//存一下节点
			now = tr[now].ch[tmp];//向下建树
		}
		tr[now].num++;//一个单词存完
  }

• 构建fail数组

  • 先放代码

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 fuc(void, get_fail)() {
   	queue<int> q;//bfs处理fail
   	//因为fail是看已经处理好的，所以我在处理当前层的fail时，上面层的必须都处理好
   	for (Re i = 0; i < 26; i++) {
   		if (tr[0].ch[i] != 0) {
   			tr[tr[0].ch[i]].fail = 0;//指向根
   			q.push(tr[0].ch[i]);
   		}
   	}
   	while (!q.empty()) {
   		int top = q.front();
   		q.pop();
   		for (Re i = 0; i < 26; i++) {
   			if (tr[top].ch[i] != 0) {//存在当前点
   				tr[tr[top].ch[i]].fail = tr[tr[top].fail].ch[i];
   				//子节点的fail指针指向当前节点的fail指针所指向的节点的相同子节点 
   				q.push(tr[top].ch[i]);
   			}
   			else {
   				tr[top].ch[i] = tr[tr[top].fail].ch[i];
   				//当前节点的这个子节点指向当前节点fail指针的这个子节点 
   				//因为我没有这个儿子，所以我去找我fail可能我fail也没有
   				//我fail直接指向了fail的fail所以最终指向有这个儿子的或者直接指回根
   				//可以理解为路径压缩或者换链
   			}
   		}
   	}
 }

• 开始解释
  

  • fail指的是最长的能和 另外一个串 前缀匹配的后缀，所以如果一个点a有一个儿子点t, 那么t的fail实际上就是a的fail的t儿子（假如a和a的fail都有t这个儿子）
    

    • (借用luogu上一个大佬的tu,跟ta申请了)

      • 在这样一个树上去匹配abcde，找到d之后发现没有e，然后就可以一直套娃下去了
        话说我代码里写的不比这里详细吗
        

• query

  -这里以LuoguP3808为例
  -这个代码挺好理解的吧，就不解释了

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  fuc(int, query)(string s) {
		int len = s.length();
		int now = 0, ans = 0;
		for (Re i = 0; i < len; i++) {
			now = tr[now].ch[s[i] - 'a'];
			for (Re tmp = now; tmp && tr[tmp].num != -1; tmp = tr[tmp].fail) {
				ans += tr[tmp].num;
				tr[tmp].num = -1;
			}
		}
		return ans;
  }

• 说一个我理解时的误区
  
• 我先去匹配红色的，当红色的失配之后我是去匹配蓝色（跳fail跳到最大后缀）的，此时相当于我已经换串了，是蓝色到红色的串而非红色到红色的串，所以AC自动机能做到很快匹配一坨，因为他同时处理...虽然可能很傻逼，但是确实是我当时没理解的。

完结撒花，这玩意干了我两天！两天！你知道这两天我怎么过来的吗？摸鱼过来的...#