Processing math: 0%

欧几里得算法求最大公约数(GCD)的数学原理

文章已迁移至:https://ryan4yin.space/posts/mathematics-in-euclidean-gcd/

很早就学过欧几里得算法,但是一直不知道它的原理。几乎每本算法书都会提到它,但是貌似只有数学书上才会见到它的原理。。。

前段时间粗粗看了点数论(《什么是数学》),惊讶于这个原理的奇妙。现在把它通俗地写下来,以免自己忘记。

欧几里得算法是求两个数的最大公约数(Greatest Common Divisor (GCD))的算法,我们首先假设有两个数 ab,其中 a 是不小于 b 的数

ab 除的余数为 r,那么 a 可以写成这样的形式:

a = bq + r

其中 q 是整数(我们不需要去管 q 到底是多少,这和我们的目标无关)。

现在假设 ab 的一个约数为 u,那么 ab 都能被 u 整除,即

a = su

b = tu

st 都是整数(同样的,我们只需要知道存在这样的整数 st 就行)。

这样可以得出

r = a - bq = su - (tu)q = (s - tq)u

所以 r 也能被 u 整除,一般规律如下

ab 的约数也整除它们的余数 r,所以 ab 的任一约数同时也是 br 的约数。 —— 条件一

反过来可以得出

br 的任一约数同时也是 ab 的约数。 ——条件二

这是因为对 br 每一个约数 v,有

b = kv

r = cv

于是有

a = bq + r = (kv)q + cv = (kq + c)v

由条件一和条件二可知

ab 的约数的集合,全等于 br 的约数的集合。

于是

ab 的最大公约数,就是 br 的最大公约数。

接下来用递推法,

a \div br,现在设

b \div rr_1

r \div r_1r_2

……

r_{n-3} \div r_{n-2}r_{n-1}

r_{n-2} \div r_{n-1}r_n=0


因为 a \ge b,可以看出余数 r_n 会越来越小,最终变成 0.

r_{n-1} \neq 0r_n = 0 时,可知 r_{n-2} 可被 r_{n-1} 整除(余数为 0 嘛)

此时 r_{n-2}r_{n-1} 的约数就只有:r_{n-1}r_{n-1} 的因数,所以他们的最大公约数就是 r_{n-1}

所以 r_{n-1} 就是 ab 的最大公约数。(若 r = 0,则 b 为最大公约数)

这个递推法写成c语言函数是这样的(比推导更简洁...):

unsigned int Gcd(unsigned int M,unsigned int N){
    unsigned int Rem;
    while(N){
        Rem = M % N;
        M = N;
        N = Rem;
    }
    return Rem;
}

可以发现这里没有要求 M>=N,这是因为如果那样,循环会自动交换它们的值。

P.S. 此外,还有最小公倍数(Least Common Multiple (LCM))算法,详见 GCD and LCM calculator

posted @   於清樂  阅读(10894)  评论(1编辑  收藏  举报
点击右上角即可分享
微信分享提示