算法导论（第24章 单源最短路径）

第24章 单源最短路径

问题描述

给定一个带权重的有向图$G=(V,E)$和权重函数$w:E\to R$，该权重函数将每条边映射到实数值的权重上(当然可能存在负权)。

图中一条路径$p=<v_0,\dots ,v_k>$的权重$w(p)$是构成该路径的所有边的权重之和：$w(p)=\sum _{i=1}^{k}w(v_{i-1},v_i)$。

定义从结点$u$到结点$v$的最短路径权重$\delta (u,v)$如下：

$\delta (u,v)=min\{w(p):u\to v\}$——如果存在一条从结点$u$到结点$v$的路径

$\delta (u,v)=\mathrm{\infty }$——其他

从结点$u$到结点$v$的最短路径则定义为任何一条权重为$w(p)=\delta (u,v)$的从$u$到$v$的路径$p$。

22.2节讨论的广度优先搜索算法就是一个求取最短路径的算法，但该算法只能用于无权重的图。

最短路径的几个变体

• 单源最短路径问题
• 单目的地最短路径问题
• 单结点对最短路径问题
• 所有结点对最短路径问题

最短路径的最优子结构

最短路径算法通常依赖最短路径的一个重要性质：两个结点之间的一条最短路径包含着其他的最短路径。

而最优子结构是可以使用动态规划(第15章)和贪心算法(第16章)的一个重要指标。相应的，后面在24.3节讨论的$Dijkstra$算法就是一个贪心算法，在25.2节讨论的$Floyd-Warshall$算法则是一个动态规划算法。

• 引理24.1(最短路径的子路径也是最短路径)

负权重的边

环路

最短路径的表示

松弛操作

最短路径和松弛操作的性质

• 三角不等式性质

• 上界性质

• 非路径性质

• 收敛性质

• 路径松弛性质

• 前驱子图性质

本章概要

24.1节讨论$Bellman-Ford$算法，该算法解决的是一般情况下的单源最短路径问题(边的权重可以为负值)。$Bellman-Ford$算法还能够侦测是否存在从源结点可以到达的权重为负值的环路。

24.2节给出在有向无环图中计算单源最短路径的线性时间的算法。

24.3节讨论$Dijkstra$算法，该算法的时间复杂度低于$Bellman-Ford$算法，但要求边的权重为非负值。

24.4节描述如何使用$Bellman-Ford$算法来解决线性规划中的一种特殊情况。

24.5节给出最短路径和松弛操作的性质的证明。

本章所讨论的所有算法都假定有向图$G$以邻接链表的方式予以存放。此外，边的权重与边本身存放在一起，这样在遍历每条邻接链表时，我们可以在$O(1)$时间内获得边的权重。

24.1 $Bellman-Ford$算法

$Bellman-Ford$算法解决的是一般情况下的单源最短路径问题，在这里，边的权重可以为负值。

给定带权重的有向图$G=(V,E)$和权重函数$w:E\to R$，$Bellman-Ford$算法返回一个布尔值，以表明是否存在一个从源结点可以到达的权重为负值的环路。如果存在这样一个环路，算法将告诉我们不存在解决方案。如果没有这种环路存在，算法将给出最短路径和它们的权重。

$Bellman-Ford$算法通过对边进行松弛操作来渐近地降低从源结点$s$到每个结点$v$的最短路径的估计值$v.d$，直到该估计值与实际的最短路径权重$\delta (u,v)$相同为止。

BELLMAN-FORD(G, w, s)
1   INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s)
2   for i = 1 to |G.V| - 1
3       for each edge(u, v) ∈ G.E
4           RELAX(u, v, w)
5   for each edge(u, v) ∈ G.E
6       if v.d > u.d + w(u, v)
7           return FALSE
8   return TRUE

• 算法第1行对所有结点的$d$值和$\pi$值进行初始化。
• 算法第2~4行对每条边进行$|V|-1$次松弛操作。
• 算法第5~8行检查图中是否存在权重为负值的环路并返回与之相应的布尔值。

$Bellman-Ford$算法的复杂度为$O(VE)$。

24.2 有向无环图中的单源最短路径问题

24.3 $Dijkstra$算法

$Dijkstra$算法解决的是带权重的有向图上单源最短路径问题，该算法要求所有边的权重都为非负值。

$Dijkstra$算法在运行过程中维持的关键信息是一组结点集合$S$。从源结点$s$到该集合中每个结点之间的最短路径已经被找到。算法重复从结点集$V-S$中选择最短路径估计最小的结点$u$，将$u$加入到集合$S$，然后对所有从$u$发出的边进行松弛(这里使用一个最小优先队列$Q$来保存结点集合，每个结点的关键值为其$d$值)。

DIJKSTRA(G, w, s)
1   INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s)
2   S = Ø
3   Q = G.V
4   while Q ≠ Ø
5       u = EXTRACT-MIN(Q)
6       S = S ∪ {u}
7       for each vertex v ∈ G.Adj[u]
8           RELAX(u, v, w)

• 算法第1行执行的同样是$d$值和$\pi$值进行初始化。
• 算法第2行将集合$S$初始化为一个空集。
• 算法第3行对最小优先队列$Q$进行初始化。（算法所维持的不变式为$Q=V-S$）
• 算法第4~8行从$Q$中抽取结点$u$并加入到$S$中，对所有从结点$u$发出的边$(u,v)$进行松弛操作。

$Dijkstra$算法的复杂度依赖于最小优先队列的实现。

• 如果采用数组，则复杂度为$O(V^2)$
• 如果采用二叉堆，则复杂度为$O((V+E)\lg V)$(若所有结点都可以从源结点到达，则该时间为$O(E\lg V)$)
• 如果采用斐波那契堆，则可改善为$O(VlogV+E)$

24.4 差分约束和最短路径

24.5 最短路径性质的证明

• 引理24.11(上界性质) 设$G=(V,E)$为一个带权重的有向图，权重函数为$w:E\to R$，源结点为$s$，该图由算法$INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G,s)$执行初始化。那么对于所有的结点$v\in V$，$v.d⩾\delta (s,v)$，并且该不等式在对图$G$的边进行任何次序的松弛过程中保持成立。而且一旦$v.d$取得其下界$\delta (s,v)$后，将不再发生变化。

• 引理24.13(收敛性质) 设$G=(V,E)$为一个带权重的有向图，权重函数为$w:E\to R$。设$s\in V$为某个源结点，$s\to u\to v$为图$G$中的一条最短路径，这里$u,v\in V$。假定图$G$由$INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G,s)$算法进行初始化，并在这之后进行了一系列边的松弛操作，其中包括对边$(u,v)$的松弛操作$RELAX(u,v,w)$。如果在对边$(u,v)$进行松弛操作之前的任意时刻有$u.d=\delta (s,u)$，则在该松弛操作之后的所有时刻有$v.d=\delta (s,v)$。

证明：根据上界性质——如果在对边$(u,v)$进行松弛前的某个时刻有$u.d=\delta (s,u)$，则该等式在松弛操作后仍然成立。所以松弛操作之后，仍然有$u.d=\delta (s,u)$。

根据最优子结构的性质，在对边$(u,v)$进行松弛后，有$v.d⩽u.d+w(u,v)=\delta (s,u)+w(u,v)=\delta (s,v)$

又根据上界性质，我们有$v.d⩾\delta (s,v)$。

由夹逼定理：$v.d=\delta (s,v)$，并且该等式在此之后一直保持成立。