深入理解计算机系统（第2章 信息的表示和处理②）

目录

• 2.2 整数(Integer)表示
  • 2.2.1 整型数据类型
  • 2.2.2 无符号数编码
  • 2.2.3 有符号数（补码two's-complement）编码
  • 2.2.4 有符号数和无符号数之间的转换
  • 2.2.5 C语言中的有符号数和无符号数
  • 2.2.6 扩展一个数字的位表示（增加位数）
  • 2.2.7 截断(Truncate)数字（减小位数）
  • 2.2.8 关于有符号数与无符号数的建议
• 2.3 整数运算
  • 2.3.1 无符号加法
  • 2.3.2 补码加法
  • 2.3.3 补码的非
  • 2.3.4 无符号乘法
  • 2.3.5 补码乘法
  • 2.3.6 乘以常数（2的幂）
  • 2.3.7 除以2的幂
  • 2.3.8 关于整数运算的最后思考

2.2 整数(Integer)表示

2.2.1 整型数据类型

32/64位程序上C语言int类型的取值范围：$-2^{31}$~$2^{31}-1$。unsigned int类型的取值范围：$0$~$2^{32}-1$。

有符号数据类型的取值范围是不对称的————负数的范围比正数大1。
C/C++都支持有符号和无符号数。Java只支持有符号数。

假设有一个整数数据类型有$w$位。其二进制编码可以用一个位向量$\overrightarrow{x}$来表示。
$\overrightarrow{x}$ = [$x_{w-1},x_{w-2},\dots ,x_0$]

2.2.2 无符号数编码

$B2U_w(\overrightarrow{x})$（Binary to Unsigned的缩写，长度为$w$） $\equiv$ $\sum _{i=0}^{w-1}{x}_i{2}^i$。
定义无符号编码的最大值为$UMa{x}_w$ = $2^w-1$。

无符号数编码具有唯一性。（$B2U_w$是一个双射）

2.2.3 有符号数（补码two's-complement）编码

最高有效位$x_{w-1}$称为符号位。
$B2T_w(\overrightarrow{x})$（Binary to Two's-complement的缩写，长度为$w$） $\equiv$ $-x_{w-1}{2}^{w-1}+\sum _{i=0}^{w-2}{x}_i{2}^i$。
由此可以推出$w$位补码所能表示的范围为$-2^{w-1}$~$2^{w-1}-1$。
定义最小补码值$TMi{n}_w$ = $-2^{w-1}$，最大补码值$TMa{x}_w$ = $2^{w-1}-1$。显然，$|TMi{n}_w|$ = $|TMa{x}_w|$ + 1。

补码编码也具有唯一性。（$B2T_w$也是一个双射）（前提：在固定位数的表示范围内）

其他编码方式

2.2.4 有符号数和无符号数之间的转换

2.2.5 C语言中的有符号数和无符号数

几乎所有的机器都使用补码，并且大多数数字都默认为是有符号的。
如果要创建一个无符号常量，需要加上后缀字符'U'或者'u'。

当C语言执行一个运算时，只要有一个运算数是无符号的，那么C语言会隐式地将所有运算数都强制类型转换为无符号数，并假设这两个数都是非负的，来执行运算。（以32位字长为例）

2.2.6 扩展一个数字的位表示（增加位数）

无符号数的零扩展(zero extension)。
补码数的符号扩展(sign extension)。

2.2.7 截断(Truncate)数字（减小位数）

截断无符号数。
截断补码数值。

2.2.8 关于有符号数与无符号数的建议

隐式强制类型转换和无符号数据类型经常容易造成程序错误。

2.3 整数运算

2.3.1 无符号加法

当无符号加法运算溢出时，出现截断。

2.3.2 补码加法

2.3.3 补码的非

-x + x = 0

2.3.4 无符号乘法

2.3.5 补码乘法

2.3.6 乘以常数（2的幂）

编译器使用移位和加法运算的组合来代替乘以常数因子的乘法。

与2的幂相乘的无符号乘法
与2的幂相乘的补码乘法

2.3.7 除以2的幂

除以2的幂的无符号除法

除以2的幂的补码除法（向上舍入/向下舍入）

2.3.8 关于整数运算的最后思考

• 计算机执行的“整数”运算实际上是一种模运算形式。
• 表示数字的有限字长限制了可能的值的取值范围。
• 考虑运算结果溢出。
  eg：求整型a，b的平均值。
  × $(a+b)/2$（溢出warning）
  √ $a+(b-a)/2$（要求：b > a）
  √ $(a/2)$ + $(b/2)$ + $(a$ & $b$ & $1)$
  √ $(a$ & $b)$ + $(a$ ^ $b)/2$
  参考：https://devblogs.microsoft.com/oldnewthing/20220207-00/?p=106223
• 补码形式。