[hihocoder1259] A Math Problem （数学，数位dp）

题目链接:http://hihocoder.com/problemset/problem/1259

式子可以化简，并且找到一个f的递推式，递推过程如下：

 

列出来后手动枚举几个f的值，会发现函数值其实就是把二进制的自变量当成三进制来算一次。

答案求的是异或和，要求将所有余数相同的和异或起来，可以考虑用数位dp了，f(i,j)表示长为i的时候，余数为j。由于从高到低更新，那么f(i,j)=∑f(i-1, j+3^(i-1)*(k==1))，k取值为0或者1。倒着推可以一直用期望的余数减去当前加上某位值后的余数，判断最后到头的时候余数是不是0。

这么交是会TLE的，原因是每次都要clear dp数组。

由于只有5个模数，不放再多加一维，记录各个模下的不同余数个数和。

再预处理一下不同模下的幂取模值就行了。

特别注意下：f(0)不存在，但是dp出来f(0)=0，%k=0，所以在处理的时候要减掉这个值。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int maxn = 66;
const int maxm = 66666;
const int mod[5] = {3,5,17,257,65537};
LL n;
int k, id;
LL dp[6][maxn][maxm];
int mul[6][maxn];
int digit[maxn];

LL dfs(int l, int sum, bool flag) {
    if(l == 0) return sum == 0;
    if(!flag && ~dp[id][l][sum]) return dp[id][l][sum];
    int pos = flag ? digit[l] : 1;
    LL ret = 0;
    for(int i = 0; i <= pos; i++) {
        if(i == 0) ret += dfs(l-1, sum, flag&&(i==pos));
        else ret += dfs(l-1, (sum+k-mul[id][l-1])%k, flag&&(i==pos));
    }
    if(!flag) dp[id][l][sum] = ret;
    return ret;
}

LL f(LL n, int sum) {
    int pos = 0;
    while(n) {
        digit[++pos] = n % 2;
        n >>= 1;
    }
    return dfs(pos, sum, true);
}

int main() {
    // freopen("in", "r", stdin);
    int T;
    scanf("%d", &T);
    for(int i = 0; i < 5; i++) {
        mul[i][0] = 1;
        for(int j = 1; j < maxn; j++) {
            mul[i][j] = (mul[i][j-1] * 3) % mod[i];
        }
    }
    memset(dp, -1, sizeof(dp));
    while(~scanf("%lld%d",&n,&k)) {
        id = lower_bound(mod, mod+5, k) - mod;
        LL ret = 0;
        for(int i = 0; i < k; i++) ret ^= (f(n, i) - (i == 0));
        printf("%lld\n", ret);
    }
    return 0;
}