[HDOJ5584]LCM Walk(数论,规律)
题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5584
给一个坐标(ex, ey),问是由哪几个点走过来的。走的规则是x或者y加上他们的最小公倍数lcm(x, y)。
考虑(ex, ey)是由其他点走过来的,不妨设当走到(x,y)时候,gcd(x, y)=k,x=k*m1, y=k*m2。
下一步有可能是(x, y+x*y/gcd(x, y))或者是(x+x*y/gcd(x,y), y)。
用k和m1,m2来表示为(k*m1, k*m2+m1*m2*k)=(k*m1, k*m2*(m1+1)), 或(k*m1+m1*m2*k, k*m2)=(k*m1*(m2+1), k*m2)。
下面只关注(k*m1*(m2+1), k*m2)。m1和m2互质并且(m2+1)与m2也互质。
那么gcd(k*m1*(m2+1), k*m2)=k,即无论如何变化,它们的最大公因数都是k。这也证明了路径唯一,我们求的是可能的起点位置数,所以直接考虑每次都是x来加的情况(即y>x的时候,交换x,y)。我们可以从(ex, ey)上逆推回去。x'=k1*m1/(m2+1),当x不是(y + k)的整数倍以后,即x/(k*(m2+1))不为0结束。
1 #include <algorithm> 2 #include <iostream> 3 #include <iomanip> 4 #include <cstring> 5 #include <climits> 6 #include <complex> 7 #include <fstream> 8 #include <cassert> 9 #include <cstdio> 10 #include <bitset> 11 #include <vector> 12 #include <deque> 13 #include <queue> 14 #include <stack> 15 #include <ctime> 16 #include <set> 17 #include <map> 18 #include <cmath> 19 20 using namespace std; 21 22 int ex, ey; 23 24 int main() { 25 // freopen("in", "r", stdin); 26 int T, _ = 1; 27 scanf("%d", &T); 28 while(T--) { 29 scanf("%d %d", &ex, &ey); 30 int k = __gcd(ex, ey); 31 if(ex < ey) swap(ex, ey); 32 int ans = 1; 33 while(1) { 34 if(ex % (ey + k) != 0) break; 35 ans++; 36 ex = ex / (ey / k + 1); 37 if(ex < ey) swap(ex, ey); 38 k = __gcd(ex, ey); 39 } 40 printf("Case #%d: %d\n", _++, ans); 41 } 42 return 0; 43 }