赛马问题

面试题：赛马问题

问题：一共有25匹马，有一个赛场，赛场有5个赛道，就是说最多同时可以有5匹马一起比赛。假设每匹马都跑的很稳定，不用任何其他工具，只通过马与马之间的比赛，试问，最少得比多少场才能知道跑得最快的5匹马？

解题思路：

 

比如：我们假设比赛完第六场后，我们得到下面的排序：（每组排序是——快马从左到右，各组头名的排序是——快马从上到下）

 

A组 A1 A2 A3 A4 A5
B组 B1 B2 B3 B4 B5
C组 C1 C2 C3 C4 C5
D组 D1 D2 D3 D4 D5
E组 E1 E2 E3 E4 E5

 

练习一下：

1.

有25匹马，一个5道的赛马场，最少比赛几次，能把这25匹马中的1，2，3名找出来，并排出1，2，3名？

2.

 

2009清华大学自主招生试题：64匹马赛跑，假设马发挥稳定且没有体力问题，如果一场比赛可以让8匹马同时赛跑，那么能否在50场比赛内排出所有名次。

 

1.把64匹马分成8组，先把每组排个序，共8场比赛。
2.把这8组8匹马两两合并为4组16匹马的有序组，每次合并需要3场比赛。
这里就是本题的关键所在：从其中任意选出两组，合并后的前4名肯定在两组的前4名这8匹马里，这8匹比一场就把两组的前4比出来了；对剩下的12马采取同样的策略，各取前4名，然后通过一场比赛决出整合后序列的5-8名，最后还剩8匹马，再为这8匹赛一次，这就是最后8名了。
3.把4组16匹马再两两合并为2组32匹马，每次合并需要7场比赛。
方法同上，实际上可以证明，两组有序的8k匹马合并成一组16k匹马，需要16k/4-1=4k-1场比赛。（之前每场比赛决出靠前的4名，最后一场比赛一次决出最后的8名）
4.把2组合并成1组，需要15场比赛。
这样的话，一共就是 8+4*3+2*7+1*15=49场比赛。
这就体现了信息学中“归并排序”的思想。归并排序具体工作原理如下（假设序列共有n个元素）：
将序列每相邻两个数字进行归并操作(merge)，形成floor(n / 2)个序列，排序后每个序列包含两个元素；
将上述序列再次归并，形成floor(n / 4)个序列，每个序列包含四个元素；
重复步骤2，直到所有元素排序完毕。

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可以考虑类似归并排序的方法;

假设有A,B两组能"区分出任意两匹马的优劣"的马,每组8*k匹,且两组内的马按照优劣次序分别编号为:
A[1],A[2],,,A[8*k];
B[1],B[2],,,B[8*k];
现要合并两组成一组,且合并后的8*k匹马之间也能"区分出任意两匹马的优劣";

注意到:合并后的前4名总是在两组的前4名中;
1) 每次从两组各取前4匹,共8匹,进行比赛,决出前4名;
2) 继续从两组剩下的马中,每组各取前4匹(若有某组不足4匹,则从另一组中取多于4批使得总数为8匹),
   决出剩下的马中的前4名;
3) 继续2),直到两组总共只剩下8批,一次比赛决出这8匹相互之间的名次;

可以看到,每次比赛总可以决出4个排位,且最后一次可以决出8个排位;
所以两组8*k批的马合并成一组16*k的马总共需要 (16*k-8)/4+1==4k-1场比赛;

具体到本题：
1) 分成8组,分别比赛,分出组内的名次; 需要赛 8 场
2) 将1)中的8组两两合并成4组,每组16(16*1)匹;每次合并需要 4*1-1==3场,
   总共需要4次合并,总共需要赛 12 场;
3) 将2)中的4组两两合并成2组,每组32(16*2)匹;每次合并需要 4*2-1==7场,
   总共需要2次合并,总共需要赛 14 场;
4) 将3)中的2组合并成1组64(16*4)匹;每次合并需要 4*4-1==15场,

所以总共需要　8 + 12 + 14 + 15 == 49　场；

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 另一牛逼解答：
37场：先随意将马排成8*8阵型：

                   01   02   03   04   05   06   07   08

                   09   10   11   12   13   14   15   16

                   17   18   19   20   21   22   23   24

                   25   26   27   28   29   30   31   32

                   33   34   35   36   37   38   39   40

                   41   42   43   44   45   46   47   48

                   49   50   51   52   53   54   55   56

                   57   58   59   60   61   62   63   64

1、每一行赛一场，共八场。由对称性，不妨设每一行都是从左到右速度依次减慢。即01,09,17,25,33,41,49,57是八场的冠军。

 2、下面说明，之后每4场总可以决出8个名次。

       （1）各组冠军赛一场，（2）各组垫底赛一场，共两场，决出了第一名、第六十四名。且不妨设第一列各马速度由上至下依次变慢。即01是总冠军。

       （3）现在，总第二名有两匹马候选，02,09。让02,09,10,17四匹马参与第三场。第三场另四匹呢？它们是有类似情况的最慢的几匹马。例如如果64是最慢的，第八列由快到慢依次是08,16,24,32,40,48,56,64，那么，让56,63,55,48四匹马参与第三场。由第三场的结果，总可以知道总第二、第六十三名。

       下面说明，不管02,09,10,17赛得的结果如何，总第三、四名的候选马不会超过四匹。

        若02获胜，那么总第三、四名的候选马只有03,04,09，以及10和17两匹中较快的一匹（这两匹已经赛过）

        若09获胜，那么第三名实际上已经知道了，是02、10或17中较快的一匹。若是02，则第四名候选马是03，10，17。若是10，则第四名候选马是02，11，17。若是17，则第四名候选马是02，10，18，25。

         于是，总第三、四名的候选马不会超过四匹。同理，总第六十二、六十一名的候选马也不会超过四匹。

       （4）将上述总第三、四名的候选马、总第六十二、六十一名的候选马至多不超过八匹，赛一场，于是至此已经决出了前四名后四名共八个名次。

             不断重复上述过程，直至7个4场后决出了56个名次。

            3、最后还剩8个名次，用一场解决。

总计：8+4*7+1=37场。