转：100层楼扔两个鸡蛋的问题

转自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_6c813dbd0101bh98.html

两个软硬程度一样但未知的鸡蛋，它们有可能都在一楼就摔碎，也可能从一百层楼摔下来没事。

有座100层的建筑，要你用这两个鸡蛋确定哪一层是鸡蛋可以安全落下的最高位置。可以摔碎两个鸡蛋。

 最少需要几次测试，才能得到摔碎鸡蛋的楼层？方案如何？

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对于这个问题，如果从编程角度而言，最简单的思路是用动态规划的思想来解决，不过本文不将其从编程角度分析，而是从数学角度对问题进行论述。

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对这个问题，原始问题——【100层楼，最少需要几次测试，才能得到摔碎鸡蛋的楼层】，直接考虑不容易考虑，但是，如果将这个问题进行一种等价的转换，这个问题将会变得非常容易解答。个人认为，这个转换是解决这个问题的核心，这个转换是：

          转换问题——【两个鸡蛋，进行k次测试，最多可以测试几层楼】

 

如果大家能想到将“原始问题”变为“转换问题”，这个问题个人认为已经解决一半了，转换后，这个问题豁然开朗，思路全开。

 

现在我们以“转换问题”为模板进行考虑，有两个鸡蛋，第一个鸡蛋如果破碎，第二个鸡蛋就必须只能一层一层的测试了，而且，我们要求进行k次测试就将摔碎鸡蛋的楼层必须找到.

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考虑第一次测试。第一次测试的时候，第一个鸡蛋不能放置的楼层太高了，否则，如果第一个鸡蛋破碎，第二个鸡蛋可能不能在k次测试后得到结果。但是也不能放置的矮了，因为如果放置的矮了，第一个鸡蛋破碎了还好说，如果没破，我们浪费了一次测试机会，也不能说是完全浪费了，不过至少是让效用没有最大化。所以，第一次测试的时候必须让第一个鸡蛋放置的不高不矮。

 

不高不矮是多高？高到如果第一个鸡蛋破碎后第二个鸡蛋刚好能完成k次测试得到结果这个目标。由此可知，第一次测试所在的楼层高度为k，如果第一次测试第一枚鸡蛋破碎，则剩下k-1层楼，一层一层的试，k次一定能完成目标。

 

如果第一次测试，第一枚鸡蛋没有破碎，则我们现在只有k-1次测试机会了，而且直到了k楼及其以下都是安全的了。我们消耗了一次测试机会，但是一次就测试了k层楼。

 

然后只有k-1次机会了，第二次测试，我们可以在k层的基础上再增加k-1层了，注意，这个时候由于我们只有k-1次机会，所以这次只能再增加k-1层，以保证测试的时候第一枚鸡蛋破碎的情况下仍然能完成任务。

 

于是，重复上述过程，直到最后一次机会，我们总共测试的楼层数为：

      

然后，再回到“原始问题”，100层楼，如果需要k次测试才能测试完成，则必须有

 

则可以得到，k≥14

也就是需要14次测试才能得到结果，而且这个过程也将测试方案一并得出来，就是第一次在14楼测试，如果第一枚蛋碎，则剩余13次机会，13层未知楼层，恰好，第二次在14+13=27楼测试，如此。

如果不是100层，而是N层，需要的测试次数为k，则有

      

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然后，这个问题这个时候还可以扩展了，如果我们有三个鸡蛋，有k次机会，我们最大可以测试多少层楼？

思路同前面一样，第一次测试，不能太高也能太矮，必须恰到好处，也就是第一枚鸡蛋如果破碎，剩余k-1次机会能将剩余楼层给测试完。

由上面结论，k-1次机会最多可以测试k(k-1)/2层楼，所以第一次在k(k-1)/2+1层楼，第一次如果第一枚鸡蛋不碎，第二次在此基础上增加(k-1)(k-2)/2+1层楼，于是，三个鸡蛋k次机会总共测试楼层数为

至于四个鸡蛋，五个鸡蛋，以至于M个鸡蛋，可以以此类推，方法同上。此处原理讲通，就不推导了