随机过程的概率学基本

合集 - 《生灭过程与马尔可夫链》读书笔记(1)

1.随机过程的概率学基本2024-07-09

收起

一些基础符号

1. $\mathrm{\Omega }$：样本空间
2. $A$：样本空间中的一些元素组成的子集
3. $\mathcal{F}$: $A$ 所组成的集合

举个例子：假设我们有一台每投入三块钱随机产出一杯咖啡、红茶或者热巧克力的自动咖啡机。这里的 $\mathrm{\Omega }=\{\mathrm{咖}\mathrm{啡}，\mathrm{红}\mathrm{茶}，\mathrm{热}\mathrm{巧}\mathrm{克}\mathrm{力}\}$。$A$ 可以是，比如说，$\{\mathrm{咖}\mathrm{啡}\}$或者$\{\mathrm{红}\mathrm{茶}\}$，也可以是$\{\mathrm{咖}\mathrm{啡}，\mathrm{红}\mathrm{茶}\}$。
如果以上是 $A$ 的值，那么 $\mathcal{F}=\{\{\mathrm{咖}\mathrm{啡}\},\{\mathrm{红}\mathrm{茶}\},\{\mathrm{咖}\mathrm{啡}，\mathrm{红}\mathrm{茶}\}\}$.

$\sigma$函数

先上书中定义。
对于 $\mathcal{F}$，如果$\mathcal{F}$具有以下性质，那就称 $\mathcal{F}$ 为一个$\sigma$函数：

1. $\mathrm{\Omega }\in \mathcal{F}$
2. 若 $A\in \mathcal{F}$，则$\overline{A}=\mathrm{\Omega }-A\in \mathcal{F}$
3. 若 $A_n\in \mathcal{F}$，$n\in N^{\ast }$，则 $\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\in \mathcal{F}$

博主注：根据 $\mathrm{\Omega }$、$A$ 和 $\mathcal{F}$ 的定义，1、2、3 可互相推导。

概率与概率空间

继续先上书中定义：
定义在 $\sigma$代数 $\mathcal{F}$ 上的集函数 $P$ 称为概率。

集函数的定义

把一个集定义到具体的数的函数为集函数

概率空间

如果 $P$ 满足以下条件：

1. 对于任意 $A\in \mathcal{F}$，有 $P(A)\ge 0$
2. $P(\mathrm{\Omega })=1$
3. 若 $A_n\in \mathcal{F}$，$n\in N^{\ast }$，$A_n{A}_m=\varnothing$，$n\ne m$，则 $P(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}P(A_n)$

我们称三元的总体 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F},P)$ 为概率空间。其中：

1. $\omega$ 为基本事件
2. $\mathrm{\Omega }$ 为基本事件空间
3. $\mathcal{F}$ 中的集 $A$ 为事件
4. $P(A)$ 为 $A$ 的概率

博主注：条件1-3都是比较基本的概率概念，翻译一下：

1. 对于任何一个事件，这个事件的概率不能小于零
2. 一整个样本空间（也就是基本事件空间，即所有可能情况的集合）的概率为1
3. 对于同一个概率空间中两两不相交的事件，这样的事件组成的集合的概率等于所有这样的事件的概率的和。