【雷达原理】脉冲压缩-匹配滤波的自己理解与参考资料

在一般雷达走-停模型中，在慢时间停下的时候，做的是快时间的脉冲压缩。
（20.12.12）
先来说一下我自己的总结。
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【第一个问题：为什么要脉冲压缩？】
一、距离分辨率
一个周期的脉冲信号，可以认为两部分
一个是有脉冲值的部分，我们记作是\(\tau\)，一个是脉冲开始到下一个脉冲开始的时间，我们记作是\(T\)，周期
很容易可以想到，将两个脉冲时间分开来的这个分辨力就是\(\tau\)
因为两个有值的脉冲在一起的时候，会重叠吧，就不能分辨开了
我们就可以近似得到一个结论
雷达的分辨力是跟这个\(\tau\)成正比的
分辨力 \(\delta\propto\tau\)
而分辨力这个东西需要注意，它是越小越好的，谁都希望分辨力高对吧.
所以为了得到良好的距离分辨力，必须使用短脉冲，或者经过信号处理能够得到短脉冲的信号。
在雷达系统中，距离向分辨力\(\delta_r=\frac{c}{2B}\)
这个B是什么呢，是雷达发射信号的带宽
带宽又是什么呢？带宽就是在频带上占了多少，可以理解为频率f的变化范围
这个带宽，在脉冲信号上可以近似认为等于脉冲时常的倒数，因为\(\tau\)的选择是sinc函数下降为峰值4dB位置的宽度，这个宽度近似等于\(\frac{1}{B}\)
\(B=\frac{1}{\tau}\)
具体可以参考后面的资料。

二、为了得到精确的目标参数，接收信号的SNR必须高，需要提高平均发射功率，提高SNR有两个方式：
1.增大峰值功率（难以实现）
2.增加脉冲长度（通常使用）

为了实现一和二，使用了一个两全其美的方式：脉冲压缩。
具体如下：
发送一个展宽脉冲，再对其进行脉冲压缩，得到所需的分辨率。

【第二个问题：如何进行脉冲压缩？】
如何将回收的展宽脉冲进行压缩呢？
这里有两个理解方式。
第一个是用传统通信的方式理解。
从一个有噪声的信号\(r(t)\)中找出需要的预期信号\(s(t)\)，需要对收到的信号\(r(t)\)和\(s(t)\)做互相关。
互相关是什么？
互相关的定义.
信号\(f(x)\)和\(h(x)\)的互相关：
\(R_{fh}=\int_{- \infty}^{+ \infty}f^*(\tau-x)h(\tau)d\tau\)
互相关不满足交换定理，有：
\(R_{fh}(x)=R^*_{hf}(-x)\)
是不是觉得这个式子看起来很熟悉？没错，长得很像卷积
我们来看看卷积的定义式：
\(f(x)*h(x)=\int_{- \infty}^{+ \infty}f(x-\tau)h(\tau)d\tau\)
我们再把上面的互相关定义是考察一下：
\(R_{fh}=\int_{- \infty}^{+ \infty}f^*(\tau-x)h(\tau)d\tau=\int_{- \infty}^{+ \infty}f^*[-(x-\tau)]h(\tau)d\tau=f^*(-x)*h(x)\)
看出来了嘛？互相关就是对需要的信号的负共轭求一个卷积
所以脉冲压缩就是对接收信号\(r(t)\)和预期信号（发射信号）\(s^*(-t)\)进行卷积。

第二个是从雷达的方式理解。
我们雷达发射的信号是一个LFM信号，作为一个调角信号，且是调频信号，相位有载波频率和时间的二次项。
脉冲压缩结果，为了让时域能量集中，要得到sinc函数的形式。而要得到时域上的sinc函数，sinc函数可以用频域上的矩形函数进行傅里叶逆变换。

为了取得好的脉冲压缩，必须对接收信号进行处理，使得频谱幅度非常平坦（从而可以得到频域上近似矩形函数，来ift到时域上的sinc函数），所以我们需要相位仅包含常量和线性分量。
如何得到这样的频域平坦频谱？
我们知道，雷达发射的LFM信号：
\(s(t)=rect(\frac{t}{T})exp(j\pi Kt^2)\)
是有二次相位的（\(t^2\)）
为了得到方波形状的平坦频谱，也就是需要将相位变成线性相位。
在频域，可以与含有二次共轭相位的类似频谱信号相乘，相乘后信号相位就是线性的。

【匹配滤波器的实现】
我们接受的信号，可以看作是发射信号带有了\(t_0\)的时延：
\(s_r(t)=rect(\frac{t-t_0}{T}exp({j\pi K(t-t_0)^2}))\)

第一种方式，传统的通信理解方式，就是在时域构造发送信号的复共轭为滤波器：
\(h(t)=rect(\frac{t}{T})exp({-j\pi K(-t)^2})\)
压缩结果：
\(s_{out}(t)=Tsinc(KT(t-t_0))\)

第二种方式，从频域构造平缓的频域结果，从而ift得到时域的sinc函数，来完成压缩的效果：
由驻定相位原理（POSP），回波信号：
\(s_r(t)=rect(\frac{t-t_0}{T}exp({j\pi K(t-t_0)^2}))\)
的频域表示可以写作：
\(S_r(t)=rect(\frac{f}{|K|T})exp({-j\pi \frac{f^2}{K}})exp({-j2\pi ft_0})\)
我们的匹配滤波器应该要消除二次相位，注意频域相乘->时域卷积，
消去二次相位，只要相乘一个\(H(t)=rect(\frac{f}{|K|T})exp({+j\pi \frac{f^2}{K}})\)
输出的频谱信号为：
\(S_{out}=S_r(f)H(f)=rect(\frac{f}{|K|T})exp({-j2\pi ft_0})\)
输出压缩结果：
\(s_{out}=|K|Tsinc{KT(t-t_0)}\)

两个时域上的压缩结果都是sinc函数形式，但是用第二种方式的结果比第一种方式多了一个幅度上的系数|K|。
是因为使用驻定相位原理时忽略了一个\(\frac{1}{\sqrt{|K|}}\)
实际使用会用归一化准则，可以忽略不计。

（以下为四处搜罗的原始参考资料）
【为什么要脉冲压缩？】解决距离分辨率和作用距离之间的矛盾

为了解决传统单频脉冲面临的作用距离和空间分辨率之间的矛盾，脉冲压缩技术采用这样的策略：
发射宽度相对较宽而峰值功率低的脉冲，使信号有足够的能量以保证作用距离；
接收时做匹配滤波，将底峰值的宽脉冲压缩成高峰值的窄脉冲，避免脉冲重叠现象，从而提高空间分辨率。

也就是说，发送的是宽带宽、低功率脉冲，低功率是为了后续方便筛选出来。

匹配滤波。

为了实现压缩，在接收机上设置一个与发射信号“共轭匹配”的压缩网络。【相位共轭匹配】
时域上，匹配滤波器的冲击响应函数构造为**输入信号的镜像**；频域上，匹配滤波器的幅频特性与信号的幅频特性一致。
当信号通过匹配滤波器时，信号越强的频率点，滤波器的放大倍数也越大；信号越弱的频率点，滤波器的放大倍数也越小，从而使信号在时域更集中。

另外一方面，从相频特性上看，匹配滤波器的相频特性和输入信号正好完全相反。
这样，通过匹配滤波器后，信号的相位为0，正好能实现信号时域上的相干叠加。
而噪声的相位是随机的，只能实现非相干叠加。这样在时域上保证了输出信噪比的最大。

【匹配滤波器定义】