积性函数 和 狄利克雷卷积
积性函数
概念
数论函数
定义域为正整数的函数称为数论函数。
积性函数
对于数论函数 ,若任意互质的 都有 ,则称 是积性函数。
完全积性函数
对于数论函数 ,若任意 都有 ,则称 是完全积性函数
定义逐点加法
定理
积性函数一定满足
证明: 显然 与任何数都互质,满足积性函数的定义,那么我们假设存在一个正整数 满足 ,显然有:,两端同除 ,得:,性质得证
对于一个大于 1 11的正整数 N ,根据唯一分解定理有,
则
对于任意积性函数 有:
若 完全积性
由此可得推论:凡是积性函数均可用线性筛法求解
若 和 均为积性函数,则以下函数也为积性函数:
常见积性函数
欧拉函数
最大公因数,当 k 固定的情况
恒等函数:
常函数:
莫比乌斯函数 关于非平方数的质因子数目
狄利克雷卷积
定义: 若函数f , g为积性函数,则定义 f , g 的狄利克雷卷积为:
(f函数卷g函数)
性质:
若 和 是积性函数,则 也是积性函数
本文作者:kingwzun
本文链接:https://www.cnblogs.com/kingwz/p/16862978.html
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