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kingwzun

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2022-11-06 16:42阅读: 65评论: 0推荐: 0

积性函数 和 狄利克雷卷积

积性函数

概念

数论函数
定义域为正整数的函数称为数论函数。

积性函数
对于数论函数 ,若任意互质p,q 都有 f(pq)=f(p)f(q),则称 f 是积性函数。

完全积性函数
对于数论函数 ,若任意 p,q 都有 f(pq)=f(p)f(q) ,则称 f是完全积性函数

定义逐点加法
(f+g)(x)=f(x)+g(x)((fg)(x)=f(x)g(x)

定理

积性函数一定满足 f(1)=1

证明: 显然 1 与任何数都互质,满足积性函数的定义,那么我们假设存在一个正整数 a 满足 f(a)!=0,显然有:f(1×a)=f(1)×f(a),两端同除 f(a) ,得:f(1)=1,性质得证

对于一个大于 1 11的正整数 N ,根据唯一分解定理有N=p1c1p2c2...pmcm

对于任意积性函数 f 有: f(N)=f(piai)=f(piai)

f 完全积性 f(N)=f(pi)ai

由此可得推论:凡是积性函数均可用线性筛法求解

f(x)g(x) 均为积性函数,则以下函数也为积性函数:
image

常见积性函数

4φ(n)欧拉函数 φ(n)=i=1n[in]

gcd(n,k)最大公因数,当 k 固定的情况

恒等函数: id(n)=n

常函数: I(n)=1

μ(n)莫比乌斯函数 关于非平方数的质因子数目

狄利克雷卷积

定义: 若函数f , g为积性函数,则定义 f , g 的狄利克雷卷积为:
h=fg (f函数卷g函数)
h(n)=Σd|nf(d)g(nd)

性质:
fg 是积性函数,则 h=fg 也是积性函数

原文

本文作者:kingwzun

本文链接:https://www.cnblogs.com/kingwz/p/16862978.html

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