线段树 __ 复习

线段树的结构

为什么叫线段树？
因为它是把原序列以及其子序列（一个个线段）组织成一棵树的形式。树的根节点为原序列，子节点依次对半分序列，直到叶节点，叶节点是单个数，也没办法再往下分了。

例如[1，7]

可以发现：

原本的区间，在最底层其实是一个元素构成的叶节点。
从根节点向下递归地过程中，节点的长度逐渐缩小，类似一个不断二分的过程，最后确定为一个点。
整棵线段树中，所有节点的个数是小于4n的（n是区间、线段的长度、也即叶节点个数）

还可以看出线段树将近是（最后一层不符合）一颗满二叉树，因此可以直接采用堆存储方式。
因此某一段 u 的

父节点是 u>>1
左儿子是 u<<1
右儿子是 u<<1|1

又因为一颗线段树最多是一颗满二叉树，而满二叉树的最后一层是 \(n\) 个点，前面的点数是 \(n−1\) ，所以一共要 \(2×n−1\) 的空间
但由于线段树有可能最后一层节点还有子节点，比如说 \(n=10\) 的时候，如图：

最后一层是多出来的，而最后一层节点最多 \(2×n\) 个节点，最坏情况下就最右边两个节点，最右下角的一个节点的编号是 \(2×n−1+2×n=4×n−1\) ，所以线段树一般开 \(4×n\)。

存储的属性是：（一般而言）

结点所表示区间（线段）的左端点L
结点所表示区间（线段）的右端点R
结点所表示区间（线段）的和sum

代码

//一般使用结构体来存储线段树,空间大小开四倍
struct Node{
    int l,r;  //维护的区间
    int v;   //维护的信息
} tree[N*4];

建树

思路
递归遍历初始区间：

如果这个节点不是叶子节点，那么就分别遍历左子树和右子树
如果是叶子节点
把表示的区间记录下来，
把线段树维护的信息也记录下来，维护的信息在叶子节点上基本上就是这个数本身
递归回来的时，利用儿子节点的信息更新父亲节点的信息

时间复杂度 \(O(logn)\)

代码push_up+build

//利用它的两个儿子来算一下它的当前节点信息
void push_up(int u)
{
    tr[u].sum=tr[u<<1].sum + tr[u<<1|1].sum;//左儿子 u<<1 ,右儿子 u<<1|1
}

/*第一个参数，当前节点编号，第二个参数，左边界，第三个参数，右边界*/
void build(int u,int l,int r)
{
    //如果当前已经是叶节点了，那我们就直接赋值就可以了
    if(l==r)tr[u]={l,r,w[r]};
    else
    {
        tr[u]={l,r};//存储当前点表示的区间

        int mid=l+r>>1;//计算边界
        build(u<<1,l,mid);//递归左儿子
        build(u<<1|1,mid+1,r);//递归右儿子

        push_up(u);//做完两个儿子之后push_up，更新一下当前节点信息
    }
}

查询

思路
我们从根节点（根节点一定包含所有点，既包含修改区间）出发，一直往下走，直到当前区间中的元素全部都是被修改元素。

当左区间包含整个被修改区间时，我们就递归到左区间；
当右区间包含整个被修改区间时，我们就递归到右区间；
否则区间的样子就如下图所示：

此时该怎么办呢？
我们可以发现，被修改区间中的元素间，两两之间都不会产生影响。
所以，我们可以把被修改区间分解成两段，

使得其中的一段完全在左区间，
另一端完全在右区间。

很明显，直接在 \(mid\) 的位置将该区间切开是最好的。如下图所示：

如果当前区间包含了查找区间的话就直接返回值。

时间复杂度 \(O(nlogn)\)

代码query

query操作，用来查询某一段区间内的信息,

查询最大值：

//从u（根节点）节点开始查询[l,r]区间内的某一信息
int query(int u,int l,int r){
    if(tree[u].l>=l&&tree[u].r<=r) return tree[u].v;  //说明这一段的信息已经被完全包含，因此不需要继续向下递归，直接返回即可
    //否则需要判断该递归那一边
    //用 res 来表示一下我们的最大值
    int res=0;
    int mid=tree[u].l+tree[u].r >> 1;
    if(l<=mid) res=max(res,query(u<<1,l,r));  //看一下我们当前区间的中点和左边有没有交集
    if(mid<r) res=max(res,query(u<<1|1,l,r));  //看一下我们当前区间的中点和左边有没有交集
//切记是mid<r，无等号
    return res;
}

查询区间和：

int query(int u,int l,int r)
{
    if(l<=tr[u].l&&tr[u].r<=r)return tr[u].sum;
    int mid=tr[u].l+tr[u].r>>1;

    //先判断一下和左边有没有交集
    int sum=0;//用 sum 来表示一下我们的总和
    if(mid>=l)//看一下我们当前区间的中点和左边有没有交集
        sum+=query(u<<1,l,r);

    if(r>=mid+1)//看一下我们当前区间的中点和右边有没有交集
        sum+=query(u<<1|1,l,r);

    return sum;
}

单点修改

我们通过二分查找的形式找到要修改的点，然后把找的过程上的链都修改一下。

代码

用来修改某一叶子节点并更新其所有父节点

void modify(int u,int x,int v){   //从u节点开始递归查找，将编号为x的节点的值修改为v
    if(tree[u].l==x&&tree[u].r==x) tree[u].v=v;
    else{
        int mid=tree[u].l+tree[u].r>>1;
        //看一下 x 是在左半边还是在右半边
        if(x<=mid) modify(u<<1,x,v);
        else modify(u<<1|1,x,v);
        push_up(u);
    }
}

区间修改

引入懒标记和push_down。

懒标记含义：
修改区间包含当前区间，就在这个节点上打个标记。
如果一个点上打的一个懒标记，那么表示这个点的所有子节点都要变化这个懒标记（可以是加除 max ， min ， GCD 等等），

注意：

懒标记不包含当前点！
如果一个点有懒标记，要先把他的懒标记下传给他的儿子。
（不向下传会遇到：左半部分+x，右半部分+y的情况，导致数据不匹配）

代码push_down+modify

区间加法为例

void push_down (int u) { //下传标记函数
    auto &root = tr[u],&left = tr[u << 1],&right = tr[u << 1 | 1];  //加了引用符号只要修改这个变量就会修改他被赋值的变量
    if (root.sum_tag) {  //有懒标记才下传
        left.tag += root.tag,left.sum += (LL)(left.r - left.l + 1) * root.tag;  //这里的子节点要加上懒标记，因为懒标记不包括当前节点
        right.tag += root.tag,right.sum += (LL)(right.r - right.l + 1) * root.tag;  //同理
        root.tag = 0;  //懒标记记得清零
    }
}
void modify (int u,int l,int r,int d) { //当前遍历到的点下标是u，要将区间[l,r]增加d
    if (l <= tr[u].l && tr[u].r <= r) {
        tr[u].sum += (LL)(tr[u].r - tr[u].l + 1) * d;
        tr[u].sum_tag += d;  //一个点所有的子节点都加上d，而前一行时加上根节点的数，因为不包括根节点。
        return ;
    }
    push_down (u);  //一定要分裂，只要记牢在递归左右区间之前，就要分裂
    int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;  //注意时tr[u].l和tr[u].r
    if (l <= mid) modify (u << 1,l,r,d);  //左边有修改区间，就递归左半边
    if (r >= mid + 1) modify (u << 1 | 1,l,r,d);  //右边有修改区间，就递归右半边
    push_up (u);  //要记得要把这个点的信息更新一下
}

单点修改模板代码

AcWing 1275. 最大数

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 200010;

int m, p;
struct Node
{
    int l, r;
    int v;  // 区间[l, r]中的最大值
}tr[N * 4];

void pushup(int u)  // 由子节点的信息，来计算父节点的信息
{
    tr[u].v = max(tr[u << 1].v, tr[u << 1 | 1].v);
}

void build(int u, int l, int r)
{
    tr[u] = {l, r};
    if (l == r) return;
    int mid = l + r >> 1;
    build(u << 1, l, mid), build(u << 1 | 1, mid + 1, r);
}

int query(int u, int l, int r)
{
    if (tr[u].l >= l && tr[u].r <= r) return tr[u].v;   // 树中节点，已经被完全包含在[l, r]中了

    int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
    int v = 0;
    if (l <= mid) v = query(u << 1, l, r);
    if (r > mid) v = max(v, query(u << 1 | 1, l, r));

    return v;
}

void modify(int u, int x, int v)
{
    if (tr[u].l == x && tr[u].r == x) tr[u].v = v;
    else
    {
        int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
        if (x <= mid) modify(u << 1, x, v);
        else modify(u << 1 | 1, x, v);
        pushup(u);
    }
}


int main()
{
    int n = 0, last = 0;
    scanf("%d%d", &m, &p);
    build(1, 1, m);

    int x;
    char op[2];
    while (m -- )
    {
        scanf("%s%d", op, &x);
        if (*op == 'Q')
        {
            last = query(1, n - x + 1, n);
            printf("%d\n", last);
        }
        else
        {
            modify(1, n + 1, ((LL)last + x) % p);
            n ++ ;
        }
    }

    return 0;
}

区间修改模板代码

243. 一个简单的整数问题2

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 100010;

int n, m;
int w[N];
struct Node
{
    int l, r;
    LL sum, add;
}tr[N * 4];

void pushup(int u)
{
    tr[u].sum = tr[u << 1].sum + tr[u << 1 | 1].sum;
}

void pushdown(int u)
{
    auto &root = tr[u], &left = tr[u << 1], &right = tr[u << 1 | 1];
    if (root.add)
    {
        left.add += root.add, left.sum += (LL)(left.r - left.l + 1) * root.add;
        right.add += root.add, right.sum += (LL)(right.r - right.l + 1) * root.add;
        root.add = 0;
    }
}

void build(int u, int l, int r)
{
    if (l == r) tr[u] = {l, r, w[r], 0};
    else
    {
        tr[u] = {l, r};
        int mid = l + r >> 1;
        build(u << 1, l, mid), build(u << 1 | 1, mid + 1, r);
        pushup(u);
    }
}

void modify(int u, int l, int r, int d)
{
    if (tr[u].l >= l && tr[u].r <= r)
    {
        tr[u].sum += (LL)(tr[u].r - tr[u].l + 1) * d;
        tr[u].add += d;
    }
    else    // 一定要分裂
    {
        pushdown(u);
        int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
        if (l <= mid) modify(u << 1, l, r, d);
        if (r > mid) modify(u << 1 | 1, l, r, d);
        pushup(u);
    }
}

LL query(int u, int l, int r)
{
    if (tr[u].l >= l && tr[u].r <= r) return tr[u].sum;

    pushdown(u);
    int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
    LL sum = 0;
    if (l <= mid) sum = query(u << 1, l, r);
    if (r > mid) sum += query(u << 1 | 1, l, r);
    return sum;
}


int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);

    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &w[i]);

    build(1, 1, n);

    char op[2];
    int l, r, d;

    while (m -- )
    {
        scanf("%s%d%d", op, &l, &r);
        if (*op == 'C')
        {
            scanf("%d", &d);
            modify(1, l, r, d);
        }
        else printf("%lld\n", query(1, l, r));
    }

    return 0;
}

原文

作者：incra
链接：https://www.acwing.com/file_system/file/content/whole/index/content/6505356/
来源：AcWing
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
作者：Perf
链接：https://www.acwing.com/solution/content/61919/
来源：AcWing
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

作者：Elegant
链接：https://www.acwing.com/solution/content/40394/
来源：AcWing
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

posted @ 2022-10-18 17:14 kingwzun 阅读(26) 评论(0) 编辑收藏举报

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